Interactive Multiple Model

IMM필터는 혼합과정, 필터링 과정, 모델 확률 갱신과정, 최종 추정치 계산 과정을 반복하는 구조를 갖는다. 각 서브 필터들은 칼만필터로 설계를 하고 각 필터는 매 cycle의 초기에 혼합된 추정값으로 새로운 추정값을 계산하기 위해 현재 측정값 및 모델에 대한 우도비율(Likelihood ratio)을 계산한다. 결과적으로 모델의 우도비율을 이용하여 각 모델에 대한 모드 확률을 계산하고 이를 이용하여 각각의 필터 출력들을 결합하여 최종 필터 추정치를 계산한다.

1) 혼합과정

IMM필터의 상호작용 과정에서는 이전 시간(k-1)에 모든 필터에서 계산된 추정치를 혼합하여 각 필터에 들어가는 초기치를 계산한다. 첫 번째 모드 행렬이 동질 마르코프 연쇄성질(homogeneous markov transition property)을 가질 때 마르코프 체인 전이 확률 행렬(markov chain transition probability matrix)을 ${\pi }_{ij}$로 정의하고 서브 필터 j에 대한 신뢰성을 의미하는 모든 확률을 ${\mu }_{ij}$라고 할때 혼합 확률(mixing probability) ${\mu }_{i|j}$ 는 다음과 같이 정의한다.

$${\mu }_{i|j}(k)=\frac{{\pi }_{ij}(k){\mu }_i(k)}{\sum _{i=1}^N{\pi }_{ij}{\mu }_i(k)}$$

위의 혼합 확률을 가중치로 사용하여 모든 필터에서 이전 시간에 계산된 추정치의 합으로 필터의 초기치 상태와 공분산을 계산할 수 있다.

$$\begin{gathered} {\hat{x}}_j^0(k|k)=\sum _i{\hat{x}}_i(k|k){\mu }_{i|j}(k) \\ {P}_j^0(k|k)=\sum _i[P_i(k|k)+[{\hat{x}}_j^0(k|k)-{\hat{x}}_i(k|k)][{\hat{x}}_j^0(k|k)-{\hat{x}}_i(k|k){]}^T]{\mu }_{i|j}(k) \end{gathered}$$

2)필터링 과정

전 단계에서 계산된 상태변수와 공분산 값을 이용하여 예상 상태치와 공분산 값을 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{gathered} {\hat{x}}_j(k+1|k)=F_j(k){\hat{x}}_j^0(k|k)+B_j(k){\overline{v}}_j(k) \\ {P}_j(k+1|k)=F_j(k)P_j(k|k)F_j(k{)}^T+B_j(k)Q_j(k)B_j(k{)}^T \end{gathered}$$

이후에 필터에서 측정치가 갱신되면 상태와 공분산의 갱신 과정이 이루어진다. 

$$\begin{gathered} {\hat{x}}_j(k+1|k+1)={\hat{x}}_j(k+1|k)+K_j(k)r_j(k) \\ {P}_j(k+1|k+1)=P_j(K+1|k)-K_j(K+1)S_j(k+1)K_j(K+1{)}^T \end{gathered}$$

여기서, $r_j$는 잔차(residual)이며 측정치와 추정치 간의 차이를 의미한다.$S_j$는 잔차의 공분산을 의미하며 $K_j$는 칼만 이득(kalman gain)을 의미한다.

3) 모델 확률 갱신과정

j 번째 필터의 모델 확률을 계산하기 위해서 2)과정에서 계산된 잔차와 잔차의 공분산을 이용하여 Likelihood은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$${\mathrm{\Lambda }}_j(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi |S_j(k)|}}\exp (-\frac{1}{2}{r}_j(k{)}^T{S}_j^{-1}(k)r_j(k))$$

이제 앞에서 계산한 예상 모델 확률과 우도 비율을 이용하여 모델 확률을 갱신한다.

$${\mu }_j(k+1)=\frac{{\mu }_j(k+1|k){\mathrm{\Lambda }}_j(k+1)}{\sum _i{\mu }_i(k+1|k){\mathrm{\Lambda }}_i(k+1)}$$

4) 최종 추정치 계산

갱신된 모델 확률과 필터의 추정치를 이용하여 최종 추정치를 계산한다.

$$\begin{gathered} \hat{x}(k+1|k+1)=\sum _j{\hat{x}}_j(k+1|k+1){\mu }_j(k+1) \\ P(k+1|k+1)=\sum _j[P_j(K+1|k+1)+[\hat{x}(k+1|k+1)-{\hat{x}}_j(k+1|k+1)][\hat{x}(k+1|k+1)-{\hat{x}}_j(k+1|k+1){]}^T]{\mu }_j(k+1) \end{gathered}$$

계산된 최종 추정치는 각각의 서브필터의 상태와 공분산 값으로 들어가며, 1)~4)의 과정이 반복적으로 이루어지며 필터의 알고리즘이 구성된다.