반응형 정적분3 7-1 치환적분 1절 치환적분 미적분의 기본정리에서 볼 수 있듯이 정적분을 구하기 위해서는 부정적분을 구하는 것이 필수적이다. 미분과 적분은 역작용으로 이해할 수 있으므로 모든 미분법칙에는 대응되는 적분법칙이 있다. 예를 들어, 치환적분법(integration by substitution)은 미분의 연쇄법칙에 대응하는 방법이다. 곱의 미분에 대응하는 적분법은 부분적분법(ingetration by parts)이라고 불린다. 정적분의 치환적분법 이제 정적분 $\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)dx$ 를 구하는 방법을 알아보기로 하자. $F(u)$가 $f(u)$의 한 부정적분이라면 부정적분의 치환적분법에 의하면 $u=g(x)$ 일 때, $$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du=F(u)=F(g(x).. 2020. 11. 27. 6-3 미적분의 기본정리 3절 미적분의 기본정리 미분과 적분은 서로 역작용으로 이해할 수 있다. 즉, 어떤 함수를 적분한 후 다시 미분하면 원래의 함수가 되고 반대로 어떤 함수를 미분한 것을 다시 적분하면 원래의 함수가 된다. 이러한 원리를 미적분의 기본정리(fundamental theorem of calculus)라고 한다. 구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$$ 라고 하자. $f(t)\geq0$이면 기하학적으로 $F(x)$는 구간 $[a,x]$에서 함수 $y=f(t)$와 $x$ 축 사이의 넓이 $S$를 의미한다. $x$가 $x+h$까지 변화할 때 $h>0$이면 $F(x+h)-F(x)$는 구간 $[x,x+h]$에서의 넓이이고 $h0$이면 $$mh\leq F(x.. 2020. 11. 26. 6-2 정적분 2절 정적분 수학에서 가장 오래된 문제 중의 하나는 도형의 넓이를 구하는 문제이다. 직사각형의 넓이는 가로와 세로의 곱으로 구할 수 있고 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱의 1/2로 구할 수 있다. 일반적인 도형의 경계가 직선인 경우는 삼각형의 넓이를 이용하면 항상 그 넓이를 구할 수 있다. 그러나 경계가 곡선인 경우, 넓이를 구하는 문제는 그리 단순하지가 않다. 이 절에서는 곡선으로 둘러 싸인 도형의 넓이를 구하는 방법을 소개하도록 한다. 곡선 아래 부분의 넓이 함수 $y=x^2,\;\; 0\leq x\leq 1$의 아래 부분 S의 넓이 $A=|S|$를 근사적으로 구하여 보기로 하자. 우선 주어진 영역의 넓이는 높이가 1인 사각형에 포함되므로 0과 1 사이임을 쉽게 알 수 있다. 이제 구간 [0,1]을.. 2020. 11. 26. 이전 1 다음 반응형
