반응형 도함수4 4-5 지수,로그함수의 도함수 5절 지수,로그함수의 도함수 지수함수 $f(x)=a^x$의 도함수를 정의를 이용하여 계산하면 $$\begin{align*}f'(x)=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}\\=&a^x\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h} \end{align*}$$ 을 얻는다. 따라서 $f(x)=a^x$가 $x=0$에서 미분가능하면, 다시 말해서 $$f'(0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}=L_a$$ 가 존재하면 $$(a^x)'=L_aa^x$$ 가 됨을 알 수 있다. 극한값 $L_a$는 그래프 $f(x)=a^x$의 $x=0$에서의 기울기이다. $a$.. 2020. 11. 25. 4-2 / 4-3 삼각함수와 역삼각함수의 도함수 2절 삼각함수의 도함수 사인함수의 덧셈법칙에서 $$sin(x+h)=sinx cosh+cosx sinh$$ 이므로 $$sin(x+h)-sinx=sinx(cosh-1)+cosx sinh$$ 이 된다. 따라서 $$\begin{align*} (sinx)'=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}\\=&\lim_{h\rightarrow 0}[sinx\frac{cosh-1}{h}+cosx\frac{sinh}{h}]\\=&sinx\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cosh-1}{h}+cosx\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinh}{h}\\=&sinx\cdot0+cosx\cdot1\\=&cosx \end{align*}$$ 임을 알 수 있다. $$c.. 2020. 11. 24. 3-4 평균값 정리와 극값 평균값정리와 극값 정의역이 실수집합인 함수의 그래프를 그린다고 하자. 유한한 평면에 그래프를 그리려면 x의 범위를 어느 정도 잡아서 그려야 할까? 다음은 $$y=x^3-120x$$ 의 그래프를 구간 [-5,5]에서 그린 것이다. 그래프는 주어진 구간에서 단순감소하는 모양을 보이는데 이는 $\lim_{x\rightarrow\infty}y=\infty$라는 사실을 생각하면 그래프 전체의 특성이라고 볼 수는 없다. 이렇게 함수 전체의 특성이 나타나지 않으므로 다음과 같이 x의 범위를 늘여서 다시 그려 보자. 다음은 같은 함수를 구간 [-50,50]에서 그린 것이다. 이번에는 함수는 단순증가하는 모양을 보이는데 [-5,5]에서 그린 그래프로부터 이 또한 사실이 아님을 알 수 있다. 이러한 현상은 함수의 치역이 .. 2020. 11. 23. 3-2 도함수 2절 도함수 1절에서 함수 $f$가 정의역의 한 점 $x=a$에서 미분가능할 때 미분계수 $f'(a)$를 정의하였다. 함수 $f$가 미분가능한 점들의 집합을 $I$라고 하면 $x\in I$에 대하여 $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ 로 정의된 함수 $f':I\rightarrow \mathbb{R}$을 $f$의 도함수(derivative)라고 부른다. $y=f(x)$의 도함수는 다음과 같이 여러 방법으로 나타낸다. $$y',\quad f'(x),\quad \frac{dy}{dx},\quad \frac{df}{dx}(x)$$ 미분법칙 이제 두 함수의 연산에 대하여 도함수를 구하여 보기로 한다. 두 함수 $f,g$가 미분가능하다고 하자 $$\frac{.. 2020. 11. 20. 이전 1 다음 반응형
