3-2 도함수

2절 도함수

1절에서 함수 $f$가 정의역의 한 점 $x=a$에서 미분가능할 때 미분계수 $f^{\prime }(a)$를 정의하였다. 함수 $f$가 미분가능한 점들의 집합을 $I$라고 하면 $x\in I$에 대하여

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

로 정의된 함수 $f^{\prime }:I\to \mathbb{R}$을 $f$의 도함수(derivative)라고 부른다.

도함수

$y=f(x)$의 도함수는 다음과 같이 여러 방법으로 나타낸다.

$$y^{\prime },f^{\prime }(x),\frac{dy}{dx},\frac{df}{dx}(x)$$

미분법칙

이제 두 함수의 연산에 대하여 도함수를 구하여 보기로 한다. 두 함수 $f,g$가 미분가능하다고 하자

$$\frac{(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

이므로 양변에 $h\to 0$으로 갈 때의 극한을 취해 주면 덧셈에 대한 극한법칙으로부터

$$\begin{array}{rl}(f+g{)}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ =& f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)\end{array}$$

를 얻는다. 또한 상수 $c$에 대하여

$$(cf{)}^{\prime }(x)=-\underset{h\to 0}{lim}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}=c\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=c{f}^{\prime }(x)$$

임을 알 수 있다.

합,상수곱의 미분법

곱, 몫의 미분법칙

두 함수의 합의 도함수는 각 도함수를 더한 것과 같다. 그렇다면 두 함수의 곱의 도함수는 각 도함수를 곱한 것과 같을까? 다시 말해서

$$(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)$$

가 성립할까? $f(x)=g(x)=x$인 경우를 생각해 보면 그렇지 않음을 간단히 알 수 있다. 즉,

$$(f(x)g(x){)}^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }=2x$$

이지만 

$$f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)=1\cdot 1=1$$

이므로

$$(f(x)g(x){)}^{\prime }\ne f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)$$

이다. 이제 곱의 도함수를 구해 보기로 한다. $f,g$가 미분가능한 함수라고 하자.

$$(f(x)g(x){)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$

의 분자에서 $f(x)g(x+h)$를 빼고 더하면

$$\begin{array}{rl}& f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)\\ & =f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)\\ & =[f(x+h)-f(x)]g(x+h)+f(x)[g(x+h)-g(x)]\end{array}$$

로 쓸 수 있다. 이로부터

$$\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

을 얻는다. $\underset{h\to 0}{lim}g(x+h)=g(x)$이므로 양변에 극한을 취하면

$$(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$

을 얻는다. $g(x)\ne 0$인 $x$에 대하여 $\frac{1}{g(x)}$의 도함수를 구하면

$$\begin{array}{rl}{\frac{1}{g(x)}}^{\prime }=& \underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x)-g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}\\ =& -\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{g(x+h)g(x)}\\ =& -\frac{g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}\end{array}(3.1)$$

임을 알 수 있다.

이제 곱의 미분법칙과 식(3.1)을 같이 이용하면 $\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}$의 도함수를 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}(\frac{f(x)}{g(x)}{)}^{\prime }=& f^{\prime }(x)\frac{1}{g(x)}+f(x)(\frac{1}{g(x)}{)}^{\prime }\\ =& \frac{f^{\prime }(x)}{g(x)}-f(x)\frac{g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}\\ =& \frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}\end{array}$$

곱, 몫의 미분법

모든 정수 $n$에 대하여

$$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}(3.2)$$

이 성립한다. 또한 $n=\pm \frac{1}{2}$일 때에도 (3.2)는 성립한다. 이러한 미분법칙은 임의의 실수 $n$에 대하여도 성립한다. 이 미분법칙을 거듭제곱의 법칙(power rule)이라고 부르기로 한다.

거듭제곱의 미분법칙

고계도함수

$y=f(x)$가 미분가능한 함수라면 $f$의 도함수 $f^{\prime }$도 함수이다. 따라서 $f^{\prime }$이 미분가능하면 $f^{\prime }$의 도함수를 생각할 수 있다. 여기서 $f^{\prime }$의 도함수를 $f^{″}$로 나타내고 $f$의 이계도함수(second derivative)라고 부른다.

$$f^{″}(x)=(f^{\prime }(x){)}^{\prime }=\frac{d}{dx}[f^{\prime }(x)]$$

다음과 같은 기호들이 모두 이계도함수를 나타내는 데에 사용된다.

$$f^{″}(x),\frac{d^{2}y}{d{x}^2},\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}),y^{″}$$

같은 방법으로 $f$의 삼계도함수는 $f^{‴}$로 나타내고 $f^{″}$의 도함수로 정의한다. 일반적으로 자연수 $n$에 대하여 $n$계 도함수는 $f^{(n)}(x)$로 나타내고 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.

$$f^{(n)}(x)=[f^{(n-1)}(x){]}^{\prime }=\frac{d}{dx}[f^{(n-1)}(x)]$$

일반적으로 자연수 $n$에 대하여 $f(x)=x^n$이면

$$f^{(n)}(x)=n!,f^{(n+1)}(x)=0$$

이다. 따라서 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_1{x}^1+a_0$이면

$$f^{(n)}(x)=n!a_n,f^{(n+1)}(x)=0$$

이다. 

이계도함수는 함수의 접선의 기울기의 순간변화율이다. 따라서 이계도함수는 곡선의 모양을 설명하는 데에 중요한 역할을 한다. 도함수와 이계도함수를 이용하여 그래프의 개형을 그리는 것은 6절에서 다루기로 한다.