3-3 연쇄법칙과 역함수 정리

3절 연쇄법칙과 역함수 정리

2절의 합성함수를 다시 살펴보자. $y=(x^2-x+1)^2$에서

$$f(u)=u^2,\quad u=g(x)=x^2-x+1$$

이라고 하면

$$y=g^2(x)=f(g(x))$$

와 같이 합성함수로 나타낼 수 있다. 이때

$$y'=2(x^2-x+1)(2x-1)$$

은 f와 g를 이용하여 나타내면 f'(u)=2u이므로

$$y'=f'(g(x))g'(x)$$

이 성립한다.

연쇄법칙

이러한 관계식 (3.3)은 일반적인 합성함수에 대하여도 성립한다. $y=f(x), z=g(y)$가 미분가능한 함수이고

$$F(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))$$

라고 하자.

$$u(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}-f'(x)\\v(s)=\frac{g(s)-g(y)}{s-y}-g'(y)$$

로 정의하면 모든 $t,x,s,y$에 대하여

$$f(t)-f(x)=(t-x)[f'(x)+u(t)]\\g(s)-g(y)=(s-y)[g'(y)+v(s)]$$

가 성립한다. 따라서 $s=f(t),y=f(x)$ 일 때

$$\begin{align*}F(t)-F(x)=&g(f(t))-g(f(x))\\=&[f(t)-f(x)][g'(y)+v(s)]\\=&(t-x)[f'(x)+u(t)][g'(y)+v(s)]
\end{align*}$$

이므로

$$\frac{F(t)-F(x)}{(t-x)}=[f'(x)+u(t)][g'(y)+v(s)]$$

이다. 그러나 정의에 의해서

$$\lim_{t\rightarrow x}u(t)=0,\qquad \lim_{s\rightarrow y}v(s)=0$$

이므로 

$$F'(x)=\lim_{t\rightarrow x}\frac{F(t)-F(x)}{(t-x)}=f'(x)g'(x)=f'(x)g'(f(x))$$

이 성립한다. 합성함수에 대한 이러한 미분법칙을 연쇄법칙(chain rule)이라고 한다.

연쇄법칙

연쇄법칙은 세 개 이상의 함수가 합성되었을 때에도 같은 방법으로 주어진다. 예를 들어

$$x=h(t),\quad y=g(x),\quad z=f(y)$$

라고 하면 $z=f(g(x))=f(g(h(t)))$에 대하여

$$\frac{dz}{dt}=\frac{dz}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$$

이다. 따라서

$$F(t)=(f\circ g\circ h)(t)=f(g(h(t)))$$

에 대하여

$$\begin{align*} F'(t)=&\frac{dz}{dt}=\frac{dz}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\\
=&f'(y)g'(x)h'(t)\\=&f'(g(h(t)))g'(h(t))h'(t)
\end{align*}$$

을 얻는다.

음함수 꼴로 정의 된 함수

함수가

$$y=x^2-2,\qquad y=xlogx$$

와 같이 $y=f(x)$ 골로 쓰여졌을 때 양함수 꼴로 표현되었다(defined explicitly)고 한다. 그러나

$$x^2+y^2=25,\qquad x^3+y^3=6xy\qquad\qquad (3.4)$$

와 같이 함수의 관계식이 명확히 주어지지 않는 경우도 있다. 일반적으로

$$F(x,y)=c$$

이라는 관계식으로 함수가 주어진 경우 음함수 꼴로 표현되었다(defined implicitly)고 한다. 함수가 음함수 꼴로 주어진 경우 표현된 식을 (국소적으로) $y$에 대하여 풀어

$$y=f(x)$$

와 같이 양함수 꼴로 나타낼 수 있응 경우가 있다. 예를 들어 $x^2+y^2=25$을 y에 대하여 풀면

$$y=\pm\sqrt{25-x^2}$$

이 된다. 따라서 $x^2+y^2=25$을 양함수 꼴로 바꾸어 쓰면 다음과 같이 두 개의 함수로 표현이 된다.

$$f_1(x)=\sqrt{25-x^2},\quad f_2(x)=-\sqrt{25-x^2}$$

양함수

일반적으로 음함수로 주어진 그래프는 하나의 함수의 그래프가 아니라 여러 함수의 그래프의합집합이다.

음함수 미분법

음함수를 양함수 꼴로 바꾸지 않고 미분계수를 구하는 것을 음함수의 미분법(implicit differentiation)이라고 한다. 이 방법을 이용하면 음함수 꼴로 주어진 함수를 양함수 꼴로 바꾸지 않아도 주어진 점에서 미분계수를 구할 수가 있다.

음함수 미분법

역함수 정리

$f(x)=2x-1$과 $f$의 역함수

$$f^{-1}(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

는 기울기가 각각 2와 1/2로 서로 역수이다. 이것은 기울기가 0이 아닌 모든 일차함수에 대하여 성립하는 사실이다. 즉, 

$$y=f(x)=ax+b (a\neq0)$$

의 역함수는

$$y=f^{-1}(x)=\frac{x}{a}-\frac{b}{a}$$

이므로 $f$의 기울기 $a$와 $f^{-1}$의 기울기 $\frac{1}{a}$는 항상 역수이다. 이것은 직선 $y=x$에 대하여 대칭 이동을 하면 직선의 기울기는 항상 서로의 역수가 되기 때문이다.

이러한 $f$와 $g=f^{-1}$의 기울기에 대한 역수 관계는 선형함수가 아닌 다른 경우에도 역시 성립한다. 그러나 이 경우 어떤 점에서의 기울기를 고려해야 하는지를 신중히 판단하여야 한다. 점$(a,f(a))$에서 $y=f(x)$의 기울기가 $f'(a)\neq0$ 이라면 점$(f(a),a)$에서 $y=g(x)$의 기울기는 $1/f'(a)$이다. 따라서 $b=f(a)$로 놓으면 $a=g(b)$이고

$$g'(b)=\frac{1}{f'(a)}=\frac{1}{f'(g(b))}$$

이다.

역함수

역함수 정리

역함수 정리의 결론은 라이프니츠의 표기법을 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$$

역함수가 존재하고 미분가능하다는 것을 안다면 (3.6)은 음함수의 미분법으로도 쉽게 보일 수 있다. 즉, $g(f(x))=x$이므로 양변을 $x$에 대하여 미분하면

$$g'(f(x))f'(x)=1$$

이다. $b=f(a)$이면 $a=g(b)$이므로

$$g'(b)=\frac{1}{f'(g(b))}$$

이다.