3-5 함수의 그래프

다음 두 그래프는 모두 증가하는 함수의 그래프이지만 다른 특징을 갖는다.

함수의 특성

함수의 볼록성

주어진 구간에서 첫 번째 그래프는 위로 볼록(concave down)하다고 하고 두 번째 그래프틑 아래로 볼록(concave up)하다고 한다. 이는 곡선 위의 임의의 두 점을 연결하였을 때 위로 볼록한 경우 곡선의 그래프가 직선의 그래프보다 위에, 아래로 볼록한 경우는 곡선의 그래프가 직선의 그래프보다 아래에 있다.

만약 $f(x)$가 미분가능한 함수라면 첫 번째 경우는 $x$가 커지면 접선의 기울기가 점점 작아진다. 다시 말해서 $f'(x)$가 감소한다. 반면 두 번째 경우는 접선의 기울기 $f'(x)$가 점점 커진다. 이러한 성질을 미분가능한 함수 $y=f(x)$의 볼록성을 정의하는 데에 사용한다.

함수의 볼록성

만약 $y=f(x)$의 이계도함수가 존재하면 위의 결과는 다음과 같이 쓸 수 있다.

이계도함수의 볼록성

변곡점

곡선의 볼록한 모양이 바뀌는 점을 변곡점(inflection point)이라고 한다.

이계도함수 판정법

임계점에서 함수가 위로 볼록하면 극대값을 갖는다. 또한 임계점에서 함수가 아래로 볼록하면 극소값을 갖는다. 이 사실은 $f''$가 연속인 경우 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있다.

이계도함수 판정법

방정식의 실근

이차함수 $y=x^2+ax+b$는 극소값을 갖는다. 이때 극소값이 0 보다 크면 이차방정식 $x^2+ax+b=0$의 실근은 존재하지 않는다. 반면 극소값이 0보다 작으면 두 개의 실근을 갖는다. 이렇게 극값에서 함수의 부호를 알면 대응하는 방정식의 실근이 몇 개 존재하는지 알 수 있다. 예를 들어 삼차함수

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a\neq0)$$

의 임계점이 없거나 하나이면 단조함수가 되므로 유일한 실근을 갖는다. 임계점이 두 개이면 항상 극대값과 극소값을 갖는다. 이때 극대값을 $\alpha$, 극소값을 $\beta$라고 하면 ($\alpha\neq\beta$) 다음 결과를 중간값정리로부터 쉽게 관찰할 수 있다.

1. $\alpha\beta>0$ 이면 $f(x)=0$은 유일한 실근을 갖는다.

유일한 실근

2. $\alpha\beta<0$ 이면 $f(x)=0$은 서로 다른 실근을 갖는다.

서로 다른 실근

3. $\alpha\beta=0$ 이면 $f(x)=0$은 두 개의 실근을 갖는다.

두 실근

이러한 방법은 일반적인 미분가능 함수가 몇 개의 실근을 갖는지를 판단하는 데에도 적용이 가능하다.