4-2 / 4-3 삼각함수와 역삼각함수의 도함수

2절 삼각함수의 도함수

사인함수의 덧셈법칙에서

$$sin(x+h)=sinxcosh+cosxsinh$$

이므로

$$sin(x+h)-sinx=sinx(cosh-1)+cosxsinh$$

이 된다. 따라서

$$\begin{array}{rl}(sinx{)}^{\prime }=& \underset{h\to 0}{lim}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}[sinx\frac{cosh-1}{h}+cosx\frac{sinh}{h}]\\ =& sinx\underset{h\to 0}{lim}\frac{cosh-1}{h}+cosx\underset{h\to 0}{lim}\frac{sinh}{h}\\ =& sinx\cdot 0+cosx\cdot 1\\ =& cosx\end{array}$$

임을 알 수 있다.

$$cosx=sin(\frac{\pi }{2}-x),sinx=cos(\frac{\pi }{2}-x)$$

이므로 합성함수의 미분법으로부터

$$\begin{array}{rl}[cosx{]}^{\prime }=& [sin(\frac{\pi }{2}-x){]}^{\prime }=cos(\frac{\pi }{2}-x)(\frac{\pi }{2}-x{)}^{\prime }\\ =& -cos(\frac{\pi }{2}-x)=-sinx\end{array}$$

가 됨을 알 수 있다. $tanx$의 도함수는 다음과 같이 몫의 미분법으로부터 구할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}(tnax{)}^{\prime }=& (\frac{sinx}{cosx}{)}^{\prime }\\ =& \frac{(sinx{)}^{\prime }cosx-sinx(cosx{)}^{\prime }}{co{s}^{2}x}-\frac{co{s}^{2}x+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}\\ =& se{c}^{2}x\end{array}$$

다음 삼각함수

$$cscx=\frac{1}{sinx},secx=\frac{1}{cosx},cotx=\frac{1}{tanx}$$

에 대한 미분공식도 몫의 미분법으로 구할 수 있다.

삼각함수의 도함수

3절 역삼각함수와 도함수

사인함수 y=sinx는 주기함수이므로 일대일 대응이 아니다. 따라서 실수 전체집합에서 사인함수의 역함수를 정의할 수 없다. 그러나 정의역을 $[-\pi /2,\pi /2]$로 제한하면 사인함수는 $[-\pi /2,\pi /2]$에서 [-1,1]로 가는 일대일 대응이 된다. 따라서 정의역을 $[-\pi /2,\pi /2]$로 제한한 사인함수는 역함수를 갖는다.

이렇게 정의된 역함수를 역사인함수(inverse sine function)라고 부르고

$$y=arcsinx$$

로 나타낸다. 역사인함수의 정의역은 [-1,1]이고 치역은 $[-\pi /2,\pi /2]$이다.

$$y=acrsinx\iff siny=x,[-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}]$$

역사인함수

코사인함수 $y=cosx$의 정의역을 $[0,\pi ]$로 제한하여 얻어지는 코사인함수의 역함수를 역코사인함수(inverse cosine function)라고 부르고

$$y=arccosx$$

로 나타낸다. 역코사인함수의 정의역은 [-1,1]이고 치역은 $[0,\pi ]$이다.

$$y=acrcosx\iff cosy=x,[0\le y\le \pi ]$$

역코사인함수

탄젠트함수는 정의역을 $(-\pi /2,\pi /2)$로 제한하면 일대일 대응이 된다. 따라서 역함수를 정의할 수 있는데 이 역함수를 역탄젠트함수(inverse tangent function)라고 부르고 

$$y=arctanx$$

로 나타낸다. 역탄젠트함수의 정의역은 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$이고 치역은 $(-\pi /2,\pi /2)$이다.

$$y=acrtanx\iff tany=x,[-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}]$$

역탄젠트함수

역삼각함수

역삼각함수의 미분

사인함수 $y=f(x)=sinx$는 모든 점에서 미분가능하고 $-\pi /2,\pi /2$이면

$$y^{\prime }=cosx\ge 0$$

이므로 역함수 정리에 의하여 역사인함수 $y=arcsinx$는 $-1\le x\le 1$일 때 미분가능하다. 다시 역함수 정리의 결과를

$$f(x)=sinx,g(x)=arcsinx$$

에 대하여 적용하면

$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(g(x))}=\frac{1}{cos(arcsinx)}$$

이다. $arcsinx=\theta$라고 하면

$$sin\theta =x,-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$

이므로

$$cosarcsinx=cos\theta =\sqrt{1-x^2}$$

임을 알 수 있다. 따라서

$$g^{\prime }(x)=(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

을 얻는다.

$(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x\ge 0$이므로 역함수정리에 의하여 역탄젠트함수도 미분가능하다. $y=arctanx$라고 하면 $x=tany$이다. 양변을 $x$에 대하여 미분하면

$$1=(se{c}^{2}y)y^{\prime }$$

이고

$$se{c}^{2}y=1+ta{n}^{2}y=1+x^2$$

이므로

$$y^{\prime }=(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

이다.

역삼각함수의 도함수