4-4 지수함수와 로그함수

4절 지수함수와 로그함수

양의 실수 $a$에 대하여 실수 집합에서 정의된 함수

$$f(x)=a^x$$

을 지수함수(exponential function)라고 한다. 여기서 자연수 $n$에 대하여

$$a^n=a\cdot a\cdot a \cdots a$$

으로 정의하고

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

으로 정의한다. $a^0=1$로 놓는다. $x$가 유리수이면 서로 소인 정수 $p,q$에 대하여 $x=\frac{p}{q}$로 쓸 수 있고

$$a^x=(\sqrt[q]{a})^p$$

으로 정의한다. 그렇다면 무리수 $x$에 대하여 $a^x$는 어떤 의미일까? 이 경우, $a^x$의 정의는 유리수의 경우처럼 직접적이지는 않다. $x$에 수렴하는 임의의 유리수 수열$(x_n)$에 대하여

$$a^x=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{x_n}$$

으로 정의한다.

지수함수의 성질

지수함수는 다음과 같이 지수의 성질을 만족한다. $x,y$가 유리수인 경우 지수의 성질에서 바로 보일 수 있고 일반적인 실수의 경우는 수열의 극한의 성질을 이용하면 보일 수 있다.

지수함수의 성질

지수함수 $y=a^x$는 $a\geq1$이면 증가함수이고

$$\lim_{x\rightarrow\infty}a^x=\infty,\qquad \lim_{x\rightarrow -\infty}a^x=0$$

이다. 또한, $a\leq a\leq1$이면 감소함수이고

$$\lim_{x\rightarrow\infty}a^x=0,\qquad \lim_{x\rightarrow -\infty}a^x=\infty$$

이다. $y=a^x$의 그래프와 $y=(\frac{1}{a})^x=a^{-x}$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이다.

지수함수

인구성장

지수함수는 인구성장이나 방사성물질의 붕괴 등 사회나 자연에서의 현상을 수학적으로 모형화하기에 적합한 함수이다. 우선 인구성장을 살펴보기로 하자.

함수 $P=P(t)$를 시간 $t$에서 어떤 생물의 개체수라 하자. 개체수는 자연수로 주어지므로 개체수함수 $P=P(t)$는 다음과 같이 계단 모양의 함수가 된다. 이렇게 구간에서 상수값을 갖는 함수를 계단함수(step function)라고 한다. 개체수가 큰 경우 계단함수를 다음 그림처럼 부드러운 곡선으로 근사시켜서 사용한다.

계단함수

실험실에서 박테리아를 키운다고 하자. 공간과 영양을 충분하게 제공하고 관찰한 결과 박테리아의 개체수는 한 시간에 두 배로 늘어 났다. 같은 방식으로 박테리아의 개체수가 늘어난다면 초기 박테리아의 개체수가 $P_0$일 때

$$P(1)=2P(0)=2P_0\\P(2)=2P(1)=2^2P_0\\P(3)=2P(2)=2^3P_0$$

이다. 일반적으로 자연수 $t$에 대하여

$$P(t)=2^tP_0$$

이고 박테리아의 수는 연속적으로 증가한다고 가정하면 임의의 실수 $t$에 대하여 개체수 함수는 $P=2^tP_0$로 가정한다. 이런 방식으로 인구가 증가할 때 인구는 지수적으로 성장(exponential growth)한다고 한다.

반감기

반감기(half-life)란 물질이 붕괴되거나 다른 물질로 변형되어 원래 양의 반으로 줄어드는 데에 걸리는 시간을 일컫는다. 예를 들어 폴로늄 218(218Po)의 반감기는 3.05분으로 알려져 있다. 지금 $m_0g$의 폴로늄이 있을 때 $t$분 후 폴로늄의 양을 $m(t)$라고 하자. 그러면

$$m(3.05)=\frac{m_0}{2},\quad m(6.10)=\frac{m_0}{2^2}\\m(9.15)=\frac{m_0}{2^3},\quad \frac{m_0}{2^4}$$

이다. 따라서 폴로늄의 양 $m(t)$는 다음 식으로 표현할 수 있다.

$$m(3.05t)=\frac{m_0}{2^t}$$

또는 $s=3.05t$로 치환하면 $s$분 후 폴로늄의 양은 다음과 같다.

$$m(s)=\frac{m_0}{2^{s/3.05}}=m_0^{-\frac{s}{3.05}}$$

로그함수의 정의

$a>0$이고 $a\neq1$이면 지수함수 $f(x)=a^x$는 증가함수이거나 감소함수이므로 일대일 대응이다. 따라서 $f$는 역함수를 갖는다. 이때 지수함수의 역함수를 밑(base)이 $a$인 로그함수(logarithmic function)라고 부르고 $log_ax$로 나타낸다. 다시 말해서

$$y=log_ax\quad \Leftrightarrow \quad x=a^y$$

를 의미한다.

로그함수의 그래프

지수함수의 정의역은 실수의 집합 $\mathbb{R}$이고 치역은 $\mathbb{R^+}$이므로 로그함수의 정의역은 $\mathbb{R^+}$,$\mathbb{R}$치역은 이다. $a>1$이면 지수함수 $y=a^x$는 단순증가하므로 역함수 $y=log_ax$도 단순증가한다. 마찬가지로 $0<a<1$이면 지수함수 $y=a^x$는 단순감소하므로 역함수 $y=log_ax$도 단순감소한다. 또한 $a^0=1, a^1=a$이므로 모든 a에 대하여

$$log_a1=0\qquad \log_aa=1$$

이다. 다시 말해서 $y=log_ax$의 그래프는 두 점(1,0)과 (a,1)을 지난다.

로그함수 $y=log_ax$는 지수함수 $y=a^x$의 역함수이므로 두 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다. 지수함수 $y=a^x$는 $a>1$일 때 아주 빠르게 증가하는 함수이다. 따라서 로그함수 $y=log_ax$는 아주 느리게 증가하는 함수이다. $b>a>1$인 경우 지수함수와 로그함수의 그래프를 같이 그려보면 각각 다음과 같다.

지수함수와 로그함수

$log_{\frac{1}{a}}x=-log_ax$이므로 $y=loa_{\frac{1}{a}}x$의 그래프와 $y=log_ax$의 그래프는 $x$축에 대하여 대칭이다.

logx

그래프로부터 로그함수 $f(x)=log_a(x)$에 대하여 다음 사실들을 관찰할 수 있다.

• $a>1$이면 $a$가 클수록 $x\rightarrow\infty$일 때, 함수는 천천히 증가한다.
• $a>1$이면 $\lim_{x\rightarrow\infty}log_ax=\infty,\quad\lim_{x\rightarrow0^+}log_ax=-\infty$이다.
• $0<a<1$이면 $\lim_{x\rightarrow\infty}log_ax=-\infty,\quad\lim_{x\rightarrow0^+}log_ax=\infty$이다.

로그함수의 성질

로그함수는 지수함수의 역함수이므로 지수함수의 성질에서 그 성질들을 유도할 수 있다.

$$a^{x_1}\cdot a^{x_2}=a^{x_1+x_2}$$

에서 $y_1=a^{x_1}, y_2=a^{x_2}$라고 하면

$$x_1=log_ay_1,\quad x_2=log_ay_2$$

이고 $y_1y_2=a^{x_1+x_2}$이므로

$$x_1+x_2=log_a(y_1y_2)$$

이 성립한다. 따라서

$$log_ay_1+log_ay_2=log_a(y_1y_2)$$

임을 알 수 있다. 같은 방법으로 다음 식이 성립함을 보일 수 있다.

$$log_a(\frac{y_1}{y_2})=log_ay_1-log_ay_2\\log_ax^r=rlog_ax$$

로그함수의 성질

자연로그

밑수가 자연상수 $e$이면 밑수를 생략하고 다음과 같이 나타내기로 한다.

$$log_ex=logx$$

이때 $logx$를 자연로그함수(natural logarithm)라고 부른다. 일반적인 밑수 $a(a>0,a\neq1)$를 갖는 로그함수는 자연로그함수를 이용하여 나타낼 수 있다. $y=log_ax$이면 $x=a^y$이고 양변에 자연로그를 취해 주면

$$logx=loga^y=yloga$$

이므로

$$y=log_ax=\frac{logx}{loga}$$

가 성립한다. 이를 밑의 변환공식이라고 한다.

밑의 변환공식

지수방정식

지수함수는 일대일함수이므로

$$a^x=a^y$$

이면 $x=y$가 성립한다. 밑이 다를 때에는 양변에 자연로그를 취하여 풀어 준다. 예를 들어

$$2^x=3^{x^2},\quad x\neq 0$$

일 때 양변에 자연로그를 취하면

$$log2^x=log3^{x^2}\quad\Rightarrow\quad xlog2=x^2log3$$

이므로

$$x=\frac{log2}{log3}\approx0.63$$

이 된다.