4-5 지수,로그함수의 도함수

5절 지수,로그함수의 도함수

지수함수 $f(x)=a^x$의 도함수를 정의를 이용하여 계산하면

$$\begin{align*}f'(x)=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}\\=&a^x\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h} \end{align*}$$

을 얻는다. 따라서 $f(x)=a^x$가 $x=0$에서 미분가능하면, 다시 말해서

$$f'(0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}=L_a$$

가 존재하면

$$(a^x)'=L_aa^x$$

가 됨을 알 수 있다. 극한값 $L_a$는 그래프 $f(x)=a^x$의 $x=0$에서의 기울기이다. $a$가 증가하면 $L_a$의 값도 증가함을 쉽게 알 수 있다.

지수함수의 도함수

자연상수

$a=2,2.5,3$인 경우 $f'(0)$을 수치적으로 근사값을 구해 보면

$$L_2=\lim_{h\rightarrow0}\frac{2^h-1}{h}\approx0.69,\quad L_{2.5}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{2.5^h-1}{h}\approx0.92,\quad L_3=\lim_{h\rightarrow0}\frac{3^h-1}{h}\approx1.10$$

임을 알 수 있다. 이 식으로부터 $2.5<a<3$인 값 중에서

$$L_a=f'(0)=1$$

이 되는 수가 존재함을 알 수 있는데 이 수를 문자 $e$로 나타내고 자연상수라고 부른다.

자연상수

정의로부터 자연상수 $e$를 밑으로 갖는 지수함수 $f(x)=e^x$의 도함수는 자기 자신과 일치한다.

$$f'(x)=(e^x)'=e^x=f(x)$$

따라서 합성함수의 미분법에 의하면 다음 식을 얻는다.

$$\frac{d}{dx}(e^{g(x)})=f'(g(x))g'(x)=e^{g(x)}g'(x)$$

특히 상수 $k$에 대하여 $g(x)=kx$이면

$$\frac{d}{dx}(e^{kx})=e^{kx}(kx)'=ke^{kx}\qquad (4.2)$$

가 성립한다. 바꾸어 말하면 $g$의 변화율을 나타내는 도함수 $g'$은 $g$의 $k$배이다.

$$g'(x)=kg(x)$$

지수함수의 도함수

자연로그함수는 지수함수 $y=e^x$의 역함수이다. 따라서 다음 등식이 성립한다.

$$loge^x=x,\qquad e^{log x}=x$$

여기서 등식

$$e^{log x}=x$$

는 일반적인 함수를 지수함수로 변형시켜주는 유용한 공식이다. 예를 들어 밑이 $a$인 지수함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

$$y=a^x=(e^{loga})^x=e^{xloga}$$

따라서 식 (4.2)로부터

$$(a^x)'=(e^{xloga})'=(loga)e^{xloga}=a^xloga$$

을 얻는다.

지수함수의 도함수

미분방정식

지수함수 $y=Ca^x=Ce^{kx} (k=log a)$의 도함수는

$$y'=(loga)(Ca^x)=ky\qquad\qquad(4.3)$$

이므로 자신의 상수배가 된다. 이러한 성질을 갖는 함수가 또 있을까? 답은 아니다이다. 다시 말해서

$$y'=ky$$

이면 $y=Ce^{kx}$이다. 이를 보이기 위하여 $f'(x)=kf(x)$라고 하자.

$$g(x)=f(x)/e^{kx}=f(x)e^{-kx}$$

라고 하면

$$\begin{align*}g'(x)=&f'(x)e^{-kx}+f(x)(-ke^{-kx})\\=&(f'(x)-kf(x))e^{-kx}=0 \end{align*}$$

이다. 따라서 $g(x)=C$이다. 다시 말해서

$$f(x)=Ce^{kx}$$

이다. 식 (4.3)과 같이 도함수를 포함하는 방정식을 미분방정식(differential equation)이라고 한다.

쌍곡함수(hyperbolic function)

모든 함수 $f$는 다음과 같이 우함수와 기함수의 합으로 분해하여 쓸 수 있다.

$$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$

만약 지수함수 $e^x$를 이런 방법으로 쓰면 다음과 같다.

$$e^x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}+\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

이때 우함수 부분을 쌍곡코사인함수(hyperbolic cosine), 기함수 부분을 쌍곡사인함수(hyperbolic sine)라고 부른다. 지수함수 $e^x$은 무한번 미분가능하므로 쌍곡코사인함수와 쌍곡사인함수도 무한번 미분가능하며

$$(coshx)'=sinhx,\qquad (sinhx)'=coshx\geq1$$

이다. $(sinhx)'>0$이므로 쌍곡사인함수는 순증가함수(strictly increasing function)임을 알 수 있다.

쌍곡함수(sinh,cosh)

쌍곡함수

정의에 의하여 다음 등식이 성립한다.

$$cosh^2t-sinh^2t=(\frac{e^t+e^{-t}}{2})^2-(\frac{e^t-e^{-t}}{2})^2=1$$

따라서

$$x=cosht,\qquad y=sinht$$

로 놓으면 그 그래프는 쌍곡선(hyperbola)의 일부가 된다.

쌍곡선

쌍곡선의 매개화

쌍곡탄젠트함수

쌍곡탄젠트함수(hyperbolic tangent)는 쌍곡사인함수와 쌍곡코사인함수의 비로 정의한다.

$$tanhx=\frac{sinhx}{coshx}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

쌍곡탄젠트함수의 경우

$$\begin{align*}(tanhx)'=&(\frac{sinhx}{coshx})\\=&\frac{(sinhx)'coshx-sinhx(coshx)'}{cosh^2x}\\=&\frac{cosh^2x-sinh^2x}{cosh^2x}\\=&\frac{1}{cosh^2x} \end{align*}$$

이다. 따라서 쌍곡탄젠트함수는 순증가함수(strictly increasing function)이다. 또한

$$\lim_{x\rightarrow\infty}tanhx=1,\qquad \lim_{x\rightarrow-\infty}tanhx=-1$$

이다.

tanhx

 

쌍곡함수는 이름이 유사한만큼이나 삼각함수와 유사한 항등식을 만족한다.

쌍곡함수의 역함수

쌍곡사인함수와 쌍곡탄젠트함수는 일대일대응이므로 역함수가 존재한다. 쌍곡사인함수의 역함수와 쌍곡탄젠트함수의 역함수는

$$y=sinh^{-1}x,\quad y=tanh^{-1}x$$

로 각각 나타내기로 한다. 쌍곡사인함수의 역함수는 정의역이 실수의 집합 $\mathbb{R}$인 반면 쌍곡탄젠트함수의 역함수는 정의역이 $-1<x<1$이다. 도한 정의역을 $x\geq0$로 제한하면 쌍곡코사인함수의 역함수도 존재한다. 이때 그 역함수를

$$y=cosh^{-1}x$$

로 정의한다. 쌍곡코사인함수의 역함수는 정의역이 $x\geq1$이다. 다음 그림은 쌍곡함수(점선)와 그 역함수(실선)들을 같은 평면에 그린 것이다.

쌍곡함수의 역함수 그래프

쌍곡함수의 역함수

역함수의 미분법과 쌍곡함수의 항등식을 이용하면 역쌍곡함수의 도함수를 구할 수 있다.

로그함수의 도함수

$y=log x$라고 하면 $e^y=x$이다. 양변을 $x$에 대하여 미분하면

$$\frac{d}{dx}(e^y)=e^y\frac{dy}{dx}=1$$

을 얻고 양변을 $e^y$로 나누면

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}$$

을 얻는다. 또한, $log_ax=\frac{log x}{log a}$이므로

$$\frac{d}{dx}(log_ax)=\frac{1}{xloga}$$

이다.

로그함수의 도함수

합성함수 $y=logg(x)=f(g(x))$에 대하여 연쇄법칙을 적용하면 $f'(u)=\frac{1}{u}$이므로

$$\frac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$$

이 성립한다.

합성함수의 도함수

로그미분법

곱, 몫, 또는 지수에 대하여 로그를 취하면 각각 합, 차, 곱으로 변환된다. 이러한 로그함수의 성질을 이용하면 복잡한 함수의 도함수도 간단하게 구할 수 있다. 예를 들어

$$log[(x^2+1)^3(x-1)^5]=3log(x^2+1)+5log(x-1)$$

이므로

$$(log[(x^2+1)^3(x-1)^5])'=3(log(x^2+1)'+5(log(x-1))'=\frac{6x}{x^2+1}+\frac{5}{x-1}$$

을 얻는다. 로그함수가 아니라도 곱, 몫, 또는 지수로 표현된 경우 양변에 로그를 취하여 계산하면 훨씬 계산이 쉬워진다. 예를 들어

$$y=x^x$$

에서 양변에 로그를 취하면

$$logy=xlogx$$

이고 음함수 미분법을 이용하여 $x$에 대하여 미분하면

$$\frac{y'}{y}=logx+x\cdot\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad y'=x^x(logx+1)$$

을 얻는다. 이렇게 양변에 로그를 취하여 도함수를 구하는 방법을 로그미분법이라고 한다.