5절 지수,로그함수의 도함수
지수함수
을 얻는다. 따라서
가 존재하면
가 됨을 알 수 있다. 극한값

자연상수
임을 알 수 있다. 이 식으로부터
이 되는 수가 존재함을 알 수 있는데 이 수를 문자

정의로부터 자연상수
따라서 합성함수의 미분법에 의하면 다음 식을 얻는다.
특히 상수
가 성립한다. 바꾸어 말하면
지수함수의 도함수
자연로그함수는 지수함수
여기서 등식
는 일반적인 함수를 지수함수로 변형시켜주는 유용한 공식이다. 예를 들어 밑이
따라서 식 (4.2)로부터
을 얻는다.

미분방정식
지수함수
이므로 자신의 상수배가 된다. 이러한 성질을 갖는 함수가 또 있을까? 답은 아니다이다. 다시 말해서
이면
라고 하면
이다. 따라서
이다. 식 (4.3)과 같이 도함수를 포함하는 방정식을 미분방정식(differential equation)이라고 한다.
쌍곡함수(hyperbolic function)
모든 함수
만약 지수함수
이때 우함수 부분을 쌍곡코사인함수(hyperbolic cosine), 기함수 부분을 쌍곡사인함수(hyperbolic sine)라고 부른다. 지수함수
이다.


정의에 의하여 다음 등식이 성립한다.
따라서
로 놓으면 그 그래프는 쌍곡선(hyperbola)의 일부가 된다.


쌍곡탄젠트함수
쌍곡탄젠트함수(hyperbolic tangent)는 쌍곡사인함수와 쌍곡코사인함수의 비로 정의한다.
쌍곡탄젠트함수의 경우
이다. 따라서 쌍곡탄젠트함수는 순증가함수(strictly increasing function)이다. 또한
이다.

쌍곡함수는 이름이 유사한만큼이나 삼각함수와 유사한 항등식을 만족한다.
쌍곡함수의 역함수
쌍곡사인함수와 쌍곡탄젠트함수는 일대일대응이므로 역함수가 존재한다. 쌍곡사인함수의 역함수와 쌍곡탄젠트함수의 역함수는
로 각각 나타내기로 한다. 쌍곡사인함수의 역함수는 정의역이 실수의 집합
로 정의한다. 쌍곡코사인함수의 역함수는 정의역이


역함수의 미분법과 쌍곡함수의 항등식을 이용하면 역쌍곡함수의 도함수를 구할 수 있다.
로그함수의 도함수
을 얻고 양변을
을 얻는다. 또한,
이다.

합성함수
이 성립한다.

로그미분법
곱, 몫, 또는 지수에 대하여 로그를 취하면 각각 합, 차, 곱으로 변환된다. 이러한 로그함수의 성질을 이용하면 복잡한 함수의 도함수도 간단하게 구할 수 있다. 예를 들어
이므로
을 얻는다. 로그함수가 아니라도 곱, 몫, 또는 지수로 표현된 경우 양변에 로그를 취하여 계산하면 훨씬 계산이 쉬워진다. 예를 들어
에서 양변에 로그를 취하면
이고 음함수 미분법을 이용하여
을 얻는다. 이렇게 양변에 로그를 취하여 도함수를 구하는 방법을 로그미분법이라고 한다.
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