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생활공학/대학기초수학

4-5 지수,로그함수의 도함수

by Eric87 2020. 11. 25.
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5절 지수,로그함수의 도함수

지수함수 f(x)=ax의 도함수를 정의를 이용하여 계산하면

f(x)=lim

을 얻는다. 따라서 f(x)=axx=0에서 미분가능하면, 다시 말해서

f(0)=limh0ah1h=La

가 존재하면

(ax)=Laax

가 됨을 알 수 있다. 극한값 La는 그래프 f(x)=axx=0에서의 기울기이다. a가 증가하면 La의 값도 증가함을 쉽게 알 수 있다.

지수함수의 도함수

자연상수

a=2,2.5,3인 경우 f(0)을 수치적으로 근사값을 구해 보면

L2=limh02h1h0.69,L2.5=limh02.5h1h0.92,L3=limh03h1h1.10

임을 알 수 있다. 이 식으로부터 2.5<a<3인 값 중에서

La=f(0)=1

이 되는 수가 존재함을 알 수 있는데 이 수를 문자 e로 나타내고 자연상수라고 부른다.

자연상수

정의로부터 자연상수 e를 밑으로 갖는 지수함수 f(x)=ex의 도함수는 자기 자신과 일치한다.

f(x)=(ex)=ex=f(x)

따라서 합성함수의 미분법에 의하면 다음 식을 얻는다.

ddx(eg(x))=f(g(x))g(x)=eg(x)g(x)

특히 상수 k에 대하여 g(x)=kx이면

ddx(ekx)=ekx(kx)=kekx(4.2)

가 성립한다. 바꾸어 말하면 g의 변화율을 나타내는 도함수 ggk배이다.

g(x)=kg(x)

지수함수의 도함수

자연로그함수는 지수함수 y=ex의 역함수이다. 따라서 다음 등식이 성립한다.

logex=x,elogx=x

여기서 등식

elogx=x

는 일반적인 함수를 지수함수로 변형시켜주는 유용한 공식이다. 예를 들어 밑이 a인 지수함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

y=ax=(eloga)x=exloga

따라서 식 (4.2)로부터

(ax)=(exloga)=(loga)exloga=axloga

을 얻는다.

지수함수의 도함수

미분방정식

지수함수 y=Cax=Cekx(k=loga)의 도함수는

y=(loga)(Cax)=ky(4.3)

이므로 자신의 상수배가 된다. 이러한 성질을 갖는 함수가 또 있을까? 답은 아니다이다. 다시 말해서

y=ky

이면 y=Cekx이다. 이를 보이기 위하여 f(x)=kf(x)라고 하자.

g(x)=f(x)/ekx=f(x)ekx

라고 하면

g(x)=f(x)ekx+f(x)(kekx)=(f(x)kf(x))ekx=0

이다. 따라서 g(x)=C이다. 다시 말해서

f(x)=Cekx

이다. 식 (4.3)과 같이 도함수를 포함하는 방정식을 미분방정식(differential equation)이라고 한다.

쌍곡함수(hyperbolic function)

모든 함수 f는 다음과 같이 우함수와 기함수의 합으로 분해하여 쓸 수 있다.

f(x)=f(x)+f(x)2+f(x)f(x)2

만약 지수함수 ex를 이런 방법으로 쓰면 다음과 같다.

ex=ex+ex2+exex2

이때 우함수 부분을 쌍곡코사인함수(hyperbolic cosine), 기함수 부분을 쌍곡사인함수(hyperbolic sine)라고 부른다. 지수함수 ex은 무한번 미분가능하므로 쌍곡코사인함수와 쌍곡사인함수도 무한번 미분가능하며

(coshx)=sinhx,(sinhx)=coshx1

이다. (sinhx)>0이므로 쌍곡사인함수는 순증가함수(strictly increasing function)임을 알 수 있다.

쌍곡함수(sinh,cosh)
쌍곡함수

정의에 의하여 다음 등식이 성립한다.

cosh2tsinh2t=(et+et2)2(etet2)2=1

따라서

x=cosht,y=sinht

로 놓으면 그 그래프는 쌍곡선(hyperbola)의 일부가 된다.

쌍곡선
쌍곡선의 매개화

쌍곡탄젠트함수

쌍곡탄젠트함수(hyperbolic tangent)는 쌍곡사인함수와 쌍곡코사인함수의 비로 정의한다.

tanhx=sinhxcoshx=exexex+ex

쌍곡탄젠트함수의 경우

(tanhx)=(sinhxcoshx)=(sinhx)coshxsinhx(coshx)cosh2x=cosh2xsinh2xcosh2x=1cosh2x

이다. 따라서 쌍곡탄젠트함수는 순증가함수(strictly increasing function)이다. 또한

limxtanhx=1,limxtanhx=1

이다.

tanhx

 

쌍곡함수는 이름이 유사한만큼이나 삼각함수와 유사한 항등식을 만족한다.

쌍곡함수의 역함수

쌍곡사인함수와 쌍곡탄젠트함수는 일대일대응이므로 역함수가 존재한다. 쌍곡사인함수의 역함수와 쌍곡탄젠트함수의 역함수는

y=sinh1x,y=tanh1x

로 각각 나타내기로 한다. 쌍곡사인함수의 역함수는 정의역이 실수의 집합 R인 반면 쌍곡탄젠트함수의 역함수는 정의역이 1<x<1이다. 도한 정의역을 x0로 제한하면 쌍곡코사인함수의 역함수도 존재한다. 이때 그 역함수를

y=cosh1x

로 정의한다. 쌍곡코사인함수의 역함수는 정의역이 x1이다. 다음 그림은 쌍곡함수(점선)와 그 역함수(실선)들을 같은 평면에 그린 것이다.

쌍곡함수의 역함수 그래프
쌍곡함수의 역함수

역함수의 미분법과 쌍곡함수의 항등식을 이용하면 역쌍곡함수의 도함수를 구할 수 있다.

로그함수의 도함수

y=logx라고 하면 ey=x이다. 양변을 x에 대하여 미분하면

ddx(ey)=eydydx=1

을 얻고 양변을 ey로 나누면

dydx=1ey=1x

을 얻는다. 또한, logax=logxloga이므로

ddx(logax)=1xloga

이다.

로그함수의 도함수

합성함수 y=logg(x)=f(g(x))에 대하여 연쇄법칙을 적용하면 f(u)=1u이므로

dydx=f(g(x))g(x)=g(x)g(x)

이 성립한다.

합성함수의 도함수

로그미분법

곱, 몫, 또는 지수에 대하여 로그를 취하면 각각 합, 차, 곱으로 변환된다. 이러한 로그함수의 성질을 이용하면 복잡한 함수의 도함수도 간단하게 구할 수 있다. 예를 들어

log[(x2+1)3(x1)5]=3log(x2+1)+5log(x1)

이므로

(log[(x2+1)3(x1)5])=3(log(x2+1)+5(log(x1))=6xx2+1+5x1

을 얻는다. 로그함수가 아니라도 곱, 몫, 또는 지수로 표현된 경우 양변에 로그를 취하여 계산하면 훨씬 계산이 쉬워진다. 예를 들어

y=xx

에서 양변에 로그를 취하면

logy=xlogx

이고 음함수 미분법을 이용하여 x에 대하여 미분하면

yy=logx+x1xy=xx(logx+1)

을 얻는다. 이렇게 양변에 로그를 취하여 도함수를 구하는 방법을 로그미분법이라고 한다.

 

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