5-1 로피탈의 법칙

1절 로피탈의 법칙

우리는 여러 형태의 부정형의 극한값을 구하였다. 그 중 어떤 것은 대수적인 성질을 이용하였고

$$\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4}{x^2-x-2},\qquad\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x^2}$$

어떤 것은 기하학적인 성질을 이용하였다.

$$\lim_{t\rightarrow0}\frac{sin\;t}{t}$$

이 절에서는 이러한 부정형의 극한값을 구하는 일반적인 방법을 알아보기로 한다.

로피탈의 법칙

미분가능한 두 함수 $f,g$에 대하여

$$f(a)=g(a)=0$$

이라고 하자. $f',g'$이 연속이고 $g'(a)\neq0$이면

$$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}\\=&\frac{\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}\\=&\frac{f'(a)}{g'(a)} \end{align*}$$

이다. 이 결과는 로피탈의 법칙(L'hospital's rule)의 특수한 경우이다. 일반적인 로피탈의 법칙은 $a=\pm\infty$일 때도 성립한다. 또한 $x=a$에서의 함수값이 $\pm\infty$인 경우에도 성립한다.

로피탈의 법칙

첫 번째 조건이 다음과 같이 좀 더 일반화 되어도 같은 결과가 성립한다.

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$$

로피탈의 정리는 $0/0$꼴이나 $\infty/\infty$꼴의 부정형의 극한값을 구하는데 유용하다. 예를 들어

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{log(1+x)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1$$

은 $0/0$꼴의 부정형에 로피탈의 법칙을 적용한 것이고 다음은 $\infty/\infty$꼴의 부정형의 계산에 로피탈의 법칙을 적용한 것이다.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{e^x}=0$$

곱 또는 차의 부정형

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0,\;\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty$이면 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)$의 값은 명확하지가 않다. 이런 경우는 

$$fg=\frac{f}{\frac{1}{g}},\qquad or \qquad fg=\frac{g}{\frac{1}{f}}$$

꼴로 바꾸어 쓰면 0/0, 또는 $\infty/\infty$꼴의 부정형을 만들 수 있다. 따라서 로피탈의 법칙을 적용할 수 있다. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)\infty,\;\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty$인 경우 $f-g$꼴을 $\infty-\infty$꼴의 부정형이라고 하고 역시 적당한 연산을 통하여 0/0, 또는 $\infty/\infty$꼴의 부정형을 만들어 극한값을 구한다.

지수형의 부정형

극한값

$$\\lim_{x\rightarrow a}[f(x)]^{g(x)}$$

은 다음과 같이 여러 꼴의 부정형을 갖는다.

1. $0^0$ 꼴 : $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0,\;\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$
2. $\infty^0$ 꼴 : $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty,\;\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$
3. $1^{\infty}$ 꼴 : $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=1,\;\lim_{x\rightarrow a}g(a)=\infty$

세 경우 모두 지수함수 형태로 바꾸어 쓸 수 있다. 다시 말해서

$$[f(x)]^{g(x)}=e^{g(x)log(f(x))}$$

이고 지수 $\lim_{x\rightarrow a}[g(x)log(f(x))]=c$이면 지수함수는 모든 점에서 연속이므로

$$\lim_{x\rightarrow a}[f(x)]^{g(x)}=e^{lim_{x\rightarrow a}[g(x)log(f(x))]}=e^c$$

가 성립한다.

코시의 평균값정리

로피탈의 법칙을 증명하기 위해서는 일반화된 평균값정리가 필요하다. 다음 정리는 프랑스의 수학자 코시(Cauchy)의 이름을 따서 코시의 평균값정리라고 부른다.

코시의 평균값 정리

코시의 평균값정리에서 $g(x)=x$이면 $g'(x)=1$이므로 일반 평균값정리가 된다. $g(a)\neq g(b)$이고 모든 x에 대하여 $g'(x)\neq 0$이면 식 (5.1)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-g(a)}{g(b)-g(a)}$$

이 식은 두 함수의 평균변화율의 비와 순간변화율의 비가 같아지는 순간이 있음을 의마한다.

코시의 평균값 정리는 함수

$$h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]$$

에 대하여 롤의 정리를 적용하면 쉽게 보일 수 있다.

로피탈 법칙의 증명

$f(a)=g(a)=0 \;(-\infty<a<\infty)$인 경우를 증명하기로 한다. 코시의 평균값정리에 의하면

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}$$

인 수 $c_x$가 $a$와 $x$ 사이에 존재한다. $x\rightarrow a$이면 $c_x\rightarrow a$이므로

$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{c_x\rightarrow a}\frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

가 성립한다. $a=\infty$이면 $t=\frac{1}{x}$라고 하자. 그러면 $x\rightarrow\infty$일 때 $t\rightarrow0^+$이다. 따라서

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{t\rightarrow0^+}\frac{f(\frac{1}{t})}{g(\frac{1}{t})}$$

이므로 $a$가 유한할 때의 로피탈의 법칙을 사용할 수 있다.

$$\begin{align*} \lim_{t\rightarrow0^+}\frac{f(\frac{1}{t})}{g(\frac{1}{t})}=&\lim_{t\rightarrow0^+}\frac{f'(\frac{1}{t})\frac{-1}{t^2}}{g'(\frac{1}{t})\frac{-1}{t^2}}\\=&\lim_{t\rightarrow0^+}\frac{f'(\frac{1}{t})}{g'(\frac{1}{t})}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
\end{align*}$$

그러므로 $f(a)=g(a)=0 \; (-\infty\leq 0 \leq \infty)$ 일 때 원하는 결과를 얻는다.