6-1 부정적분

1절 부정적분

함수 $f(x)=x^2$의 도함수는 $f^{\prime }(x)=2x$이다. 거꾸로 함수 $F$의 도함수가 $2x$ 라면 $F$는 어떤 함수인지 알 수 있을까? $x^2$을 미분하면 $2x$가 되는 것을 알고 있으므로

$$F(x)=x^2$$

이라고 할 수 있다. 그러나 미분의 경우와는 달리 이런 성질을 갖는 함수는 무수히 많이 있다. 임의의 상수 $C$에 대하여

$$(x^2+C{)}^{\prime }=2x$$

이므로 다음과 같은 형태의 함수 

$$F(x)=x^2+c$$

는 모두 도함수가 $2x$이다.

역도함수

일반적으로 주어진 함수 $f$에 대하여

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

가 되는 미분가능한 함수 $F(x)$를 $f(x)$의 역도함수(antiderivative)라고 한다. 예를 들어 $2x$는 $x^2$의 도함수이고 $x^2$은 $2x$의 역도함수이다. $F(x)$가 $f(x)$의 역도함수라면 $F(x)+C$도 $f(x)$의 역도함수가 된다. 또한 $G(x)$가 $f(x)$의 다른 역도함수라면

$$(G(x)-F(x){)}^{\prime }=f(x)-f(x)=0$$

이므로 $G(x)-F(x)$는 상수함수가 된다. 따라서 모든 $f$의 역도함수는

$$F(x)+C$$

의 꼴로 쓸 수 있다. 함수 $f(x)$의 역도함수의 집합을 부정적분(indefinite integral)이라고 하고

$$\int f(x)dx$$

로 나타낸다. 그러나 집합 기호는 사용하지 않으며 다음과 같이 이해하기로 한다.

$$F^{\prime }(x)=f(x)\iff \int f(x)dx=F(x)+C(6.1)$$

여기서 함수 $f(x)$를 피적분함수(integrand), $C$를 적분상수(constant of integration)라고 한다. 적분상수 $C$에 대하여 연산을 한 결과는 다시 $C$로 쓰기로 한다. 예를 들어

$$2\int f(x)dx=2F(x)+2C=2F(x)+C$$

로 쓴다. 일반적인 연산에서라면 위의 식에서 $C=0$이 된다. 그러나 적분상수는 일반적인 실수를 나타내는 수임을 상기하고 새로운 적분상수($C^{\prime }$이나 $C_1$ 등)을 사용하는 대신 계속 적분상수 $C$로 나타내기로 한다.

식(6.1)은 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있다.

도함수와 역도함수

여러 함수의 부정적분

$n\ne -1$일 때 $(x^{n+1}{)}^{\prime }=(n+1)x^n$이므로

$$(\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}{)}^{\prime }=x^n$$

이다. 따라서 다음 부정적분을 얻는다.

$$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C$$

$x^{-1}$의 부정적분은

$$(log|x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

에서

$$\int \frac{1}{x}dx=log|x|+C$$

임을 알 수 있다.

$x^n$의 부정적분

지수함수의 미분법칙으로부터

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x\iff \int e^{x}dx=e^x+C$$

이다. 또한

$$(a^x{)}^{\prime }=a^{x}loga$$

이므로

$$(\frac{a^x}{loga}{)}^{\prime }=a^x$$

이다. 따라서

$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{loga}+C$$

이다.

지수함수의 부정적분

삼각함수의 미분법으로부터는 다음 부정적분을 얻는다.

삼각함수의 부정적분

부정적분의 성질

$F(x),G(x)$가 각각 연속함수 $f(x),g(x)$의 역도함수라고 하자. 그러면

$$F^{\prime }(x)=f(x),G^{\prime }(x)=g(x)$$

이므로 임의의 상수 k에 대하여

$$\begin{array}{rl}[kf(x){]}^{\prime }=& k{F}^{\prime }(x)=kf(x)\\ [F(x)\pm G(x){]}^{\prime }=& F^{\prime }(x)\pm G^{\prime }(x)\\ =& f(x)\pm g(x)\end{array}$$

이다. 따라서 부정적분에 대한 다음 공식이 성립한다.

부정적분의 성질

합성함수의 부정적분

함수 $F(x)$가 $f(x)$의 역도함수라고 하자. $f(ax+b)$의 도함수는 $a{f}^{\prime }(ax+b)$이다. 그렇다면 $f(ax+b)$의 부정적분은 어떻게 될까?

$$[F(ax+b){]}^{\prime }=a{F}^{\prime }(ax+b)=af(ax+b)$$

이므로 $f(ax+b)$의 부정적분은

$$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$$

가 된다.

치환법칙

일반적인 합성함수의 부정적분을 구하기 위해서는 치환법칙을 많이 사용한다. 치환법칙은 미분에서의 연쇄법칙과 밀접한 관계가 있다. 예를 들어, 다음 부정적분을 구한다고 하자.

$$\int 2x(x^2+1{)}^{2}dx$$

$2x(x^2+1{)}^2=2x^5+4x^3+2x$이므로

$$\begin{array}{rl}\int 2x(x^2+1{)}^{2}dx=& \int (2x^5+4x^3+2x)dx\\ =& \frac{1}{3}{x}^6+x^4+x^2+C\\ =& \frac{1}{3}(x^6+3x^4+3x^2+1)+C^{\prime }\\ =& \frac{1}{3}(x^2+1{)}^3+C;\end{array}$$

을 얻는다. 여기서 $C^{\prime }=C-\frac{1}{3}$이다. 그러나 연쇄법칙을 이용하여 미분을 구하면

$$(\frac{1}{3}(x^2+1{)}^3{)}^{\prime }=3\frac{1}{3}(x^2+1{)}^2(x^2+1{)}^{\prime }=2x(x^2+1{)}^2$$

이므로

$$\int 2x(x^2+1{)}^{2}dx=\frac{1}{3}(x^2+1{)}^3+C$$

임을 알 수 있다. 일반적으로 함수 $u=g(x)$가 미분가능하고 함수 $f(u)$의 한 역도함수가 $F(u)$ 일 때, 연쇄법칙에 의하여

$$\begin{array}{rl}[F(g(x)){]}^{\prime }=& F^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)\\ =& f(g(x))g^{\prime }(x)\end{array}$$

을 얻는다. 즉, $F(g(x))$는 $f(g(x))g^{\prime }(x)$의 역도함수이다.

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=F(g(x))+C=F(u)+C$$

이다. $F(u)+C=\int f(u)du$이므로 다음 공식을 얻는다.

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=F(u)+C=\int f(u)du$$

이렇게 합성함수 $f(g(x))$에서 $g(x)$를 $u$로 치환하여 적분하는 방법을 치환적분법(integration by substitution)이라고 한다.

치환적분법

라이프니츠의 표기법을 이용하면 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)\frac{du}{dx}dx=\int f(u)du$$

따라서 $u=g(x)$일 때 $\frac{du}{dx}=g^{\prime }(x)$를

$$du=g^{\prime }(x)dxordx=\frac{1}{g^{\prime }(x)}du$$

로 나타내기로 한다.

$f^{\prime }(x)/f(x)$의 적분

$f(x)\ne 0$인 분수함수 $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$의 부정적분을 구하여 보자.

$$u=f(x)$$

라고 하면

$$du=f^{\prime }(x)dx$$

이므로

$$\begin{array}{rl}\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=& \int \frac{1}{u}du\\ =& log|u|+C\\ =& log|f(x)|+C\end{array}$$

를 얻는다.

적분