2절 정적분
수학에서 가장 오래된 문제 중의 하나는 도형의 넓이를 구하는 문제이다. 직사각형의 넓이는 가로와 세로의 곱으로 구할 수 있고 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱의 1/2로 구할 수 있다.

일반적인 도형의 경계가 직선인 경우는 삼각형의 넓이를 이용하면 항상 그 넓이를 구할 수 있다. 그러나 경계가 곡선인 경우, 넓이를 구하는 문제는 그리 단순하지가 않다. 이 절에서는 곡선으로 둘러 싸인 도형의 넓이를 구하는 방법을 소개하도록 한다.
곡선 아래 부분의 넓이
함수

우선 주어진 영역의 넓이는 높이가 1인 사각형에 포함되므로 0과 1 사이임을 쉽게 알 수 있다. 이제 구간 [0,1]을 네 개로 나누고 각 구간에서의 영역을 각각

따라서
따라서
임을 알 수 있다. 이 식의 오른쪽 값을 구간의 개수가 4인 오른쪽 리만합이라고 하고

즉, 영역
이다. 따라서
이 성립한다. 이 식의 오른쪽 값을 구간의 개수가 4인 왼쪽 리만합이라고 하고
가 성립한다. 구간의 갯수를 늘려서 계산하면 좀 더 정확한
다음 표는 구간의 수

위의 표에 의하면 항상
오른쪽 리만합 - 왼쪽 리만합 = 1/n
이다. 이와 같이 평면도형의 넓이를 구하기 위하여 평면도형을 작은 사각형으로 분할하고, 그 넓이의 합을 구하여 그 극한값을 취하는 방법을 구분구적법이라고 한다. 입체도형의 부피를 구하는 데에도 구분구적법을 사용할 수 있다.
정적분과 넓이
이제 연속함수
이라 하고 부분구간의 길이를
이라 하자. 구간
에서 어느 점
는 일정한 값으로 수렴함이 알려져 있다.

이 극한값을 구간
이 경우

연속함수
이면
정적분
일반적으로 연속인 함수
로 나타낸다.

정적분의 성질
의 극한값으로 정의한다. 정적분
이므로 리만합은 다음과 같다.
따라서 다음 관계식이 성립한다.
만약
이다. 정적분의 정의를 이용하여 다음과 같은 정적분의 성질들이 성립함을 보일 수 있다.

일 때

따라서 주어진 영역의 넓이
가 된다. 다시 말해서
이다.
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