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생활공학/대학기초수학

6-2 정적분

by Eric87 2020. 11. 26.
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2절 정적분

수학에서 가장 오래된 문제 중의 하나는 도형의 넓이를 구하는 문제이다. 직사각형의 넓이는 가로와 세로의 곱으로 구할 수 있고 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱의 1/2로 구할 수 있다.

도형의 넓이

일반적인 도형의 경계가 직선인 경우는 삼각형의 넓이를 이용하면 항상 그 넓이를 구할 수 있다. 그러나 경계가 곡선인 경우, 넓이를 구하는 문제는 그리 단순하지가 않다. 이 절에서는 곡선으로 둘러 싸인 도형의 넓이를 구하는 방법을 소개하도록 한다.

곡선 아래 부분의 넓이

함수 y=x2,0x1의 아래 부분 S의 넓이 A=|S|를 근사적으로 구하여 보기로 하자.

곡선 넓이

우선 주어진 영역의 넓이는 높이가 1인 사각형에 포함되므로 0과 1 사이임을 쉽게 알 수 있다. 이제 구간 [0,1]을 네 개로 나누고 각 구간에서의 영역을 각각 S1,S2,S3,S4 로 나타내자. 그러면 영역 Si는 밑변의 길이가 1/4이고 높이가 (i4)2인 직사각형에 포함된다.

분할

따라서 Si의 넓이 |Si|는 다음 부등식을 만족한다.

|Si|14(i4)2

따라서

A14[(14)2+(24)2+(34)2+(44)2]=1532

임을 알 수 있다. 이 식의 오른쪽 값을 구간의 개수가 4인 오른쪽 리만합이라고 하고 R4로 나타낸다. Si를 포함하는 대신 Si에 포함되는 직사각형을 사용하면 반대 방향의 근사값을 구할 수 있다.

오른쪽 리만합

즉, 영역 Si는 밑변의 길이가 1/4이고 높이가 (i14)2 인 직사각형을 포함하므로

|Si|14(i14)2

이다. 따라서

A14[(04)2+(14)2+(24)2+(34)2]=732

이 성립한다. 이 식의 오른쪽 값을 구간의 개수가 4인 왼쪽 리만합이라고 하고 L4로 나타낸다. 그러므로

732A1532

가 성립한다. 구간의 갯수를 늘려서 계산하면 좀 더 정확한 A의 범위를 구할 수 있다. 예를 들어 구간의 수를 10개로 늘려 계산하면 다음과 같은 A의 범위를 얻는다.

0.285A0.385

다음 표는 구간의 수 n을 늘려가면서 왼쪽 리만합과 오른쪽 리만합을 구한 것이다.

리만합

위의 표에 의하면 항상

오른쪽 리만합 - 왼쪽 리만합 = 1/n

이다. 이와 같이 평면도형의 넓이를 구하기 위하여 평면도형을 작은 사각형으로 분할하고, 그 넓이의 합을 구하여 그 극한값을 취하는 방법을 구분구적법이라고 한다. 입체도형의 부피를 구하는 데에도 구분구적법을 사용할 수 있다.

정적분과 넓이

이제 연속함수 y=f(x)f(x)0 일 때, 곡선 y=f(x)0x축, 그리고 두 수직선 x=a,x=b로 둘러 싸인 영역의 넓이를 구하여 보기로 하자. 구간 [a,b]를 n등분하여 양끝점과 각 분점의 x좌표를

x0(=a),x1,x2,,xn1,xn(=b)

이라 하고 부분구간의 길이를

δ=xkxk1=ban

이라 하자. 구간

[xk1,xk]=[a+k1n(ba),a+kn(ba)]

에서 어느 점 xk를 잡더라도 다음 직사각형의 합

f(x1)Δx++f(xn)Δx=nk=1f(xn)Δx

는 일정한 값으로 수렴함이 알려져 있다.

구분구적

이 극한값을 구간 [a,b]에서 함수 f(x)의 정적분이라고 하고 baf(x)dx로 나타낸다.

baf(x)dx=lim

이 경우 abf(x)dx가 주어진 영역의 넓이가 됨을 정의로부터 쉽게 이해할 수 있다.

정적분

연속함수 y=f(x)가 구간 [a,b]에서 f(x)0이라고 하자. 그러면

abf(x)dx=0

이면 f(x)0이다.

정적분

일반적으로 연속인 함수 y=f(x)에 대하여 (6.2)에서 극한값이 존재할 때, 그 극한값을 함수 f[a,b]에서의 리만적분(Riemann integral), 또는 정적분(definite integral)이라 하고

abf(x)dx

로 나타낸다.

연속함수 정적분

정적분의 성질

ab일 때, abf(x)dx는 함수 f(x)의 구간 [a,b]에서의 정적분으로

k=1nf(xk)Δx=k=1nf(xk)ban

의 극한값으로 정의한다. 정적분 baf(x)dx 도 같은 방법으로 정의한다. 그러나 이 때

Δx=abn=ban

이므로 리만합은 다음과 같다.

k=1nf(xk)Δx=k=1nf(xk)(ban)=k=1nf(xk)ban

따라서 다음 관계식이 성립한다.

baf(x)dx=abf(x)dx

만약 a=b이면 Δx=0이므로

aaf(x)dx=0

이다. 정적분의 정의를 이용하여 다음과 같은 정적분의 성질들이 성립함을 보일 수 있다.

정적분의 성질

axb에서 f(x)0이면 정적분 abf(x)dx는 곡선 y=f(x)x축, 그리고 두 직선 x=ax=b로 둘러 싸인 영역의 넓이가 된다. 이제 구간 [a,b]에서

f(x)0

일 때 y=f(x)x=a,x=b, 그리고 y 축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 A 라고 보자. f(x)0이므로 주어진 영역의 넓이는 y=f(x)x=a,x=b 그리고 x축으로 둘러싸인 영역의 그것과 같다.

둘러 싸인 영역

따라서 주어진 영역의 넓이 A는 

A=ab(f(x))dx=abf(x)dx(6.4)

가 된다. 다시 말해서

abf(x)dx=A

이다.

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