5-2 최적화 문제

2절 최적화문제

주어진 조건에서 최상의 선택을 찾는 것을 최적화(optimization)라고 한다. 최상의 선택이란 주어진 상황에 따라 최대값을 찾는 것일 수도 있고 아니면 최소값을 츶는 것이 될 수도 있다. 

예를 들어, 제조자의 입장에서는 정해진 물량을 최소의 비용으로 생산하기를 바랄 것이고, 소비자의 입장에서는 정해진 가격에 가능한 많은 양의 물건을 사고자 할 것이다. 물류를 운영하는 사람이라면 정해진 지점들을 가장 빠르게 모두 방문할 수 있는 경로를 찾고 싶어 한다. 경영자의 경우라면 비용은 최소화하고 이윤은 최대화 하기를 원할 것이다. 이 절에서는 미분을 이용하여 최적화 문제를 해결하는 방법을 살펴보기로 한다. 우선 최대값, 최소값의 정의를 다시 한번 살펴보자.

최대값, 최소값

최대값, 최소값 구하기

최대·최소값 정리에 의하여 연속인 함수 $y=f(x)$는 폐구간 [a,b]에서 최대값, 최소값을 갖는다. 그리고 임계점이 아닌 곳에서는 최대값, 또는 최소값을 가질 수 없다. 따라서 최대값, 최소값은 임계점 또는 양 끝점에서 얻어진다. 따라서 닫힌 구간 [a,b]에서 연속함수 $y=f(x)$의 최대값, 최소값은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.

최대값, 최소값 구하기

닫힌 구간 [a.b]에서 함수 $y=f(x)$가 미분가능하면 1. 은 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있다.

1a. : $f^{\prime }(c)=0$이 되는 $c$에 대하여 $f(c)$를 모두 구한다.

주어진 구간이 유한한 닫힌 구간 [a,b]가 아닌 경우에는 최대값과 최소값이 항상 존재하는 것은 아니다. 주어진 구간이 무한 구간인 경우에는 $x\to \pm \mathrm{\infty }$ 일 때의 극한값을 고려해 보아야 한다.

최적화 문제

자연현상이나 경제활동에서의 최적화 문제는 비용을 최소화하거나 효율을 최대화하는 문제 등을 포함한다. 대부분의 문제에는 변수가 둘 이상이 주어지며 변수 사이의 관계식이 주어진다. 이런 경우 최소화, 또는 최대화하고 싶은 함수를 한의 변수로 나타내는 것이 우선되어야 한다. 또한 주어진 관계식에서 변수가 취할 수 있는 범위도 구하여야 한다.

문제)

담에 직사각형 모양의 울타리를 쳐서 임시 창고를 만들려고 한다. 울타리의 길이가 15m 일 때 창고의 넓이를 최대로 하려면 창고의 가로, 세로의 길이를 어떻게 해야 하는가?

최적화 문제 예시

가로의 길이를 $x$, 세로의 길이를 $y$라고 하자. 그러면 $x,y$는 다음과 같은 조건을 만족한다.

$$x+2y=15,x\ge 0,y\ge 0(5.2)$$

창고의 넓이는 

$$A=xy$$

이므로 문제는 조건 (5.2)를 만족하는 $x,y$ 중에서 $A=xy$를 최대화하는 $x,y$를 구하는 것이 된다. 조건 (5.2)에서

$$x=15-2y\ge 0$$

이므로 $y$가 취할 수 있는 범위는 $0\le y\le \frac{15}{2}$이고

$$A=(15-2y)y=15y-2y^2$$

이다. A의 임계점은

$$A^{\prime }=15-4y=0\Rightarrow y=\frac{15}{4}$$

이다.

$$A^{\prime }=-4<0$$

이므로 y=\frac{15}{4}에서 A는 극대값

$$(15-2\frac{15}{4})\frac{15}{4}=\frac{225}{8}=28.125(m^2)$$

을 갖는다. 함수 A의 긍감을 살펴보면 다음과 같다.

함수A의 증감

따라서 유일한 극대값은 최대값이 된다. 이때 최대값은

$$f(\frac{15}{4})=(15-\frac{15}{2})\frac{15}{4}=\frac{225}{8}=28.125$$

이다.

일반적으로 최적화 문제는 다음과 같은 과정을 거쳐서 해결한다.

최적화 문제의 해결

임계점이 하나일 때

위 문제처럼 함수가 정의된 구간 안에 임계점이 하나만 있는 경우를 살펴보자. $y=f(x)$가 유일한 임계점을 갖고 임계점 왼쪽에서는 증가하고 임계점 오른쪽에서는 감소하면 임계점에서 최대값을 갖는다. 반대로 임계점 왼쪽에서는 감소하고 임계점 오른쪽에서는 증가하면 임계점에서 최소값을 갖는다.

$$y=f(x)$$

가 유일한 임계점 $x=c$를 갖고 $x\ne c$에서 미분가능하면 이 사실은 다음과 같이 쓸 수 있다.

유일한 임계점

임계점이 유일한 경우 임계점에서 함수가 위로 볼록하면 이 점은 최대점이 된다. 반대로 아래로 볼록하면 최소점이 된다.

임계점 하나

$y=f(x)$가 두 번 미분가능한 함수일 때 이 성질은 다음과 같이 쓸 수 있다.

두 번 미분가능한 함수 $y=f(x)$가 $x=c$에서 유일한 임계점을 갖는다고 하자.

• $f^{″}(c)>0$이면 $y=f(x)$는 $x=c$에서 최소값 $f(c)$를 갖는다.
• $f^{″}(c)<0$이면 $y=f(x)$는 $x=c$에서 최대값 $f(c)$를 갖는다.