반응형 생활공학/대학기초수학29 7-5 곡선의 길이와 곡면의 넓이 5절 곡선의 길이와 곡면의 넓이 함수의 그래프로 만들어지는 영역의 넓이는 직사각형을 이용하여 구하였다. 함수의 그래프의 길이는 직선을 이용하여 근사적으로 구한다. 구간 $[a,b]$를 $n$등분하여 $$x_a=0, x_1=a+\Delta x, x_{n-1}=a+(n-1)\Delta x, x_n=b$$ 라고 하자. 여기서 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$이다. $x=x_i$에 대응하는 곡선 위의 점을 $P_i=(x_i,f(x_i))$라고 하자. $P_0,P_1,\cdots,P_n$을 연결하여 얻어진 곡선의 길이는 $y=f(x), a\leq x \leq b$의 길이의 근사값으로 사용할 수 있으며 그 극한값을 곡선의 길이로 정의한다. $$L=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i.. 2020. 11. 27. 7-4 부피 4절 부피 가로, 세로, 높이가 각각 $w,l,h$인 직육면체의 부피는 $$V=wlh$$ 이다. 또한 반지름이 $r$, 높이가 $h$인 원기둥의 부피는 $$V=\pi r^2h$$ 이다. 직육면체나 원기둥과 같은 윗면과 밑면이 합동이고 두 면을 수직으로 연결한 입체도형을 기둥면(cylinder)이라고 한다. 기둥면의 부피는 밑면의 넓이 $A$와 높이 $h$의 곱으로 주어진다. $$V=A\cdot h$$ 부피 이 사실을 이용하여 일반적인 입체도형의 부피를 구하여 보기로 한다. $x=a$와 $x=b$사이에 있는 입체도형 $S$의 $x$축에 수직인 단면의 넓이가 연속함수 $A(x)$로 주어졌다고 하자. 구간 $[a,b]$을 $n$등분하여 양 끝점과 각 분점의 $x$좌표를 $$x_0(=a),\;x_1,\;x_2,.. 2020. 11. 27. 7-2 부분적분법 / 7-3 특이적분 2절 부분적분법 미분가능한 두 함수 $f(x),g(x)$에 대하여 두 함수의 곱에 대한 미분은 $$[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ 으로 주어진다. 부분적분법 양변을 부정적분을 이용하여 나타내면 $$f(x)g(x)=\int [f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]dx$$ 이 된다. 따라서 다음과 같은 관계식을 얻는다. $$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$$ 이 공식에 의한 적분법을 부분적분법(integration by parts)이라고 한다. 부분적분법은 다음 형태로 바꾸어 쓰면 기억하기가 더 좋다. $$u=f(x),\qquad v=g(x)$$ 라고 놓으면 $$du=f'(x)dx\qquad dv=g'(x)dx$$ 이다. 따라서 치환적분.. 2020. 11. 27. 7-1 치환적분 1절 치환적분 미적분의 기본정리에서 볼 수 있듯이 정적분을 구하기 위해서는 부정적분을 구하는 것이 필수적이다. 미분과 적분은 역작용으로 이해할 수 있으므로 모든 미분법칙에는 대응되는 적분법칙이 있다. 예를 들어, 치환적분법(integration by substitution)은 미분의 연쇄법칙에 대응하는 방법이다. 곱의 미분에 대응하는 적분법은 부분적분법(ingetration by parts)이라고 불린다. 정적분의 치환적분법 이제 정적분 $\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)dx$ 를 구하는 방법을 알아보기로 하자. $F(u)$가 $f(u)$의 한 부정적분이라면 부정적분의 치환적분법에 의하면 $u=g(x)$ 일 때, $$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du=F(u)=F(g(x).. 2020. 11. 27. 6-4 넓이와 응용 4절 넓이와 응용 2절에서 양의 함수 $y=f(x)$에 대하여 $$\int_{a}^{b}f(x)dx$$ 는 구간 $[a,b]$에서 곡선의 그래프와 $x$ 축 사이 영역의 넓이임을 보았다. 이제 구간 $[a,b]$에서 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$사이의 영역의 넓이는 어떻게 구할 수 있는 지 알아보기로 한다. 두 함수는 모두 연속이고 $f(x)\geq g(x)$라고 가정한다. 2절에서 한 것과 마찬가지로 구간 $[a,b]$를 $n$ 등분하여 양 끝점과 각 분점의 $x$좌표를 $$x_0(=a),x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n(=b)$$ 이라 하고 부분구간의 길이를 $$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$ 이라 하자. 구간 $[x_{k-1},x_k]$의 임의의 점 $x_k^.. 2020. 11. 26. 6-3 미적분의 기본정리 3절 미적분의 기본정리 미분과 적분은 서로 역작용으로 이해할 수 있다. 즉, 어떤 함수를 적분한 후 다시 미분하면 원래의 함수가 되고 반대로 어떤 함수를 미분한 것을 다시 적분하면 원래의 함수가 된다. 이러한 원리를 미적분의 기본정리(fundamental theorem of calculus)라고 한다. 구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$$ 라고 하자. $f(t)\geq0$이면 기하학적으로 $F(x)$는 구간 $[a,x]$에서 함수 $y=f(t)$와 $x$ 축 사이의 넓이 $S$를 의미한다. $x$가 $x+h$까지 변화할 때 $h>0$이면 $F(x+h)-F(x)$는 구간 $[x,x+h]$에서의 넓이이고 $h0$이면 $$mh\leq F(x.. 2020. 11. 26. 6-2 정적분 2절 정적분 수학에서 가장 오래된 문제 중의 하나는 도형의 넓이를 구하는 문제이다. 직사각형의 넓이는 가로와 세로의 곱으로 구할 수 있고 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱의 1/2로 구할 수 있다. 일반적인 도형의 경계가 직선인 경우는 삼각형의 넓이를 이용하면 항상 그 넓이를 구할 수 있다. 그러나 경계가 곡선인 경우, 넓이를 구하는 문제는 그리 단순하지가 않다. 이 절에서는 곡선으로 둘러 싸인 도형의 넓이를 구하는 방법을 소개하도록 한다. 곡선 아래 부분의 넓이 함수 $y=x^2,\;\; 0\leq x\leq 1$의 아래 부분 S의 넓이 $A=|S|$를 근사적으로 구하여 보기로 하자. 우선 주어진 영역의 넓이는 높이가 1인 사각형에 포함되므로 0과 1 사이임을 쉽게 알 수 있다. 이제 구간 [0,1]을.. 2020. 11. 26. 6-1 부정적분 1절 부정적분 함수 $f(x)=x^2$의 도함수는 $f'(x)=2x$이다. 거꾸로 함수 $F$의 도함수가 $2x$ 라면 $F$는 어떤 함수인지 알 수 있을까? $x^2$을 미분하면 $2x$가 되는 것을 알고 있으므로 $$F(x)=x^2$$ 이라고 할 수 있다. 그러나 미분의 경우와는 달리 이런 성질을 갖는 함수는 무수히 많이 있다. 임의의 상수 $C$에 대하여 $$(x^2+C)'=2x$$ 이므로 다음과 같은 형태의 함수 $$F(x)=x^2+c$$ 는 모두 도함수가 $2x$이다. 역도함수 일반적으로 주어진 함수 $f$에 대하여 $$F'(x)=f(x)$$ 가 되는 미분가능한 함수 $F(x)$를 $f(x)$의 역도함수(antiderivative)라고 한다. 예를 들어 $2x$는 $x^2$의 도함수이고 $x^2.. 2020. 11. 26. 5-2 최적화 문제 2절 최적화문제 주어진 조건에서 최상의 선택을 찾는 것을 최적화(optimization)라고 한다. 최상의 선택이란 주어진 상황에 따라 최대값을 찾는 것일 수도 있고 아니면 최소값을 츶는 것이 될 수도 있다. 예를 들어, 제조자의 입장에서는 정해진 물량을 최소의 비용으로 생산하기를 바랄 것이고, 소비자의 입장에서는 정해진 가격에 가능한 많은 양의 물건을 사고자 할 것이다. 물류를 운영하는 사람이라면 정해진 지점들을 가장 빠르게 모두 방문할 수 있는 경로를 찾고 싶어 한다. 경영자의 경우라면 비용은 최소화하고 이윤은 최대화 하기를 원할 것이다. 이 절에서는 미분을 이용하여 최적화 문제를 해결하는 방법을 살펴보기로 한다. 우선 최대값, 최소값의 정의를 다시 한번 살펴보자. 최대값, 최소값 구하기 최대·최소값.. 2020. 11. 25. 이전 1 2 3 4 다음 반응형
