7-4 부피

4절 부피

가로, 세로, 높이가 각각 $w,l,h$인 직육면체의 부피는

$$V=wlh$$

이다. 또한 반지름이 $r$, 높이가 $h$인 원기둥의 부피는 

$$V=\pi r^2h$$

이다.

직육면체 원기둥

직육면체나 원기둥과 같은 윗면과 밑면이 합동이고 두 면을 수직으로 연결한 입체도형을 기둥면(cylinder)이라고 한다. 기둥면의 부피는 밑면의 넓이 $A$와 높이 $h$의 곱으로 주어진다.

$$V=A\cdot h$$

부피

이 사실을 이용하여 일반적인 입체도형의 부피를 구하여 보기로 한다. $x=a$와 $x=b$사이에 있는 입체도형 $S$의 $x$축에 수직인 단면의 넓이가 연속함수 $A(x)$로 주어졌다고 하자. 구간 $[a,b]$을 $n$등분하여 양 끝점과 각 분점의 $x$좌표를

$$x_0(=a),\;x_1,\;x_2,\;\cdots,\;x_{n-1},\;x_n(=b)$$

이라하고 부분구간의 길이를

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$

이라 하자. 그러면 $k$ 번째 구간의 입체 $S_k$의 부피는 단면적이 $A(x_k^*)(x_k^*\in[x_{n-1},x_k])$ 이고 높이는 $\Delta x$인 기둥면의 부피로 근사시킬수 있다.

$$V(S_k)\approx A(x_k^*)\Delta x$$

입체부피

따라서 입체의 부피는 이 부분기둥들의 부피의 합으로 근사시킬 수 있다.

$$V\approx V_n=\sum_{k=1}^{n} A(x_k^*)\Delta x$$

$n$이 커질수록 근사값은 좋아지며 그 극한값이 존재하는데 그 극한값으로 입체의 부피를 정의한다.

입체의 부피

밑면의 한 변이 $r$인 정사각형이고 높이가 $h$인 사각뿔(pyramid)의 부피를 구해보자. 사각뿔은 아래와 같다.

사각뿔

 $x$에서 단면의 한 변의 길이를 $s$라고 하면 삼각형의 닮음비에서 

$$h:r=x:s\quad\Rightarrow\quad s=\frac{rx}{h}$$

이다. 따라서 단면의 넓이는

$$A(x)=\frac{r^2x^2}{h^2}$$

이고 사각뿔의 부피는

$$\begin{align*}
\int_{0}^{h}A(x)\;dx=&\int_{0}^{h}\frac{r^2x^2}{h^2}\;dx\\
=&\frac{r^2}{h^2}\int_{0}^{h}x^2\;dx=\frac{1}{3}r^2h
\end{align*}$$

이다.

1. 회전체의 부피

구는 원을 회전하면 얻어진다. 이렇게 곡선을 회전하여 얻어지는 회전체의 부피는 단면이 항상 원이므로 단면의 넓이를 쉽게 구할 수 있다. 다시 말해서, 곡선 $y=f(x), a\leq x \leq b$를 $x$축으로 회전하였을 때 생기는 회전체의 $x$에서의 단면적은

$$A(x)=\pi [f(x)]^2$$

이고 이 회전체의 부피는 

$$V=\int_{a}^{b}A(x)\;dx=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^2\;dx$$

가 된다.

회전체의 부피1

마찬가지로 곡선 $x=g(y), c\leq y\leq d$를 $y$축 둘레로 회전한 회전체의 부피는 다음과 같이 주어진다.

$$V=\pi\int_{c}^{d}x^2\;dy=\pi\int_{c}^{d}[g(y)]^2\;dy$$

예를 들어, 다음 곡선을 각각 $x$축과 $y$축 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 부피를 구해보자

$$y=\sqrt{x},\quad 0<x<4$$

$x$축 둘레로 회전하면 단면은 반지름이 $y=\sqrt{x}$인 원이다.

x축 회전체

부피는

$$V=\pi\int_{0}^{4}(\sqrt{x})^2\;dx=\pi\int_{0}^{4}x\;dx=8\pi$$

이다. 반면 $y$축 둘레로 회전하면 생기는 단면의 반지름은 $x=y^2$이고 이때 $0\leq y \leq 2$이다.

y축 회전

그러므로 부피는

$$V=\pi\int_{0}^{2}x^2\;dy=\pi\int_{0}^{2}(y^2)^2\;dy=\frac{2^5}{5}\pi=\frac{32}{5}\pi$$

가 된다.

2. 회전체의 부피

직사각형 $R$을 회전하여 생기는 회전체의 부피는 가운데 구멍이 난 원기둥 모양이다. 따라서 그 부피는 바깥 원기둥의 부피에서 안쪽 원기둥의 부피를 빼면 된다.

속이 핀 원기둥

안 쪽 원의 반지름이 $r_1$, 바깥 원의 반지름이 $r_2$라면 이 회전체의 부피는

$$\begin{align*}
V=& \pi r_2^2h- \pi r_1^2h\\
=&\pi(r_2-r_1)(r_2+r_1)h=2\pi r\bar{r}h
\end{align*}$$

가 된다. 여기서

$$\Delta r=r_2-r_1,\qquad \bar{r}=\frac{r_1+r_2}{2}$$

이다. 이 사실을 이용하여 부피를 구하는 새로운 방법을 생각해 보자. 곡선

$$y=f(x),\qquad a\leq x\leq b$$

을 $y$축 둘레로 회전한 회전체의 부피를 구하여 보기로 하자.

$f$가 일대일 함수이어서 역함수 $g$가 존재하면 $x=g(y), c\leq t \leq d$로 쓸 수 있고

$$V=\pi\int_{c}^{d}(g(y))^2\;dy$$

로 부피를 구할 수 있다. 그러나 $f$가 다음과 같이 일대일 함수가 아닌 경우는 이 방법을 쓸 수 없고 문제가 훨씬 복잡해진다.

회전체

이제 회전체를 다음과 같이 잘라서 생각해 보자. 구간 $[a,b]$을 $n$ 등분하여 양 끝점과 각분점의 $x$좌표를 

$$x_0(=a),x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n(=b)$$

이라 하고 부분구간의 길이를

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$

이라 하자. $k$ 번째 영역을 높이가 $f(\bar{x}_k)$ 인 사각형으로 근사시킬 수 있다. 여기서

$$\bar{x}_k=\frac{x_{k-1}+x_k}{2}$$

이다. 이 사각형을 $y$ 축 둘레로 회전하여 생긴 회전체는 바깥원의 반지름이 $x_k$, 안쪽 원의 반지름은 $x_{k-1}$이고 높이는 $f(\bar{x}_k)$인 구멍이 난 원기둥이다.

따라서 그 부피는

$$V_k=2\pi\bar{x}_kf(\bar{x}_k)\Delta x$$

로 근사시킬 수 있다. 따라서 회전체의 부피는

$$V\approx \sum_{k=1}^{n}V_k=2\pi\sum_{k=1}^{n}\bar{x}_kf(\bar{x}_k)\Delta x$$

로 근사시킬 수 있고 $n$이 커지면 이 값은

$$2\pi\int_{a}^{b}xf(x)\;dx$$

으로 수렴한다. 따라서 다음 결과를 얻는다.

회전체의 부피2