4절 부피
가로, 세로, 높이가 각각
이다. 또한 반지름이
이다.

직육면체나 원기둥과 같은 윗면과 밑면이 합동이고 두 면을 수직으로 연결한 입체도형을 기둥면(cylinder)이라고 한다. 기둥면의 부피는 밑면의 넓이
부피
이 사실을 이용하여 일반적인 입체도형의 부피를 구하여 보기로 한다.
이라하고 부분구간의 길이를
이라 하자. 그러면

따라서 입체의 부피는 이 부분기둥들의 부피의 합으로 근사시킬 수 있다.

밑면의 한 변이

이다. 따라서 단면의 넓이는
이고 사각뿔의 부피는
이다.
1. 회전체의 부피
구는 원을 회전하면 얻어진다. 이렇게 곡선을 회전하여 얻어지는 회전체의 부피는 단면이 항상 원이므로 단면의 넓이를 쉽게 구할 수 있다. 다시 말해서, 곡선
이고 이 회전체의 부피는
가 된다.

마찬가지로 곡선
예를 들어, 다음 곡선을 각각

부피는
이다. 반면

그러므로 부피는
가 된다.
2. 회전체의 부피
직사각형

안 쪽 원의 반지름이
가 된다. 여기서
이다. 이 사실을 이용하여 부피를 구하는 새로운 방법을 생각해 보자. 곡선
을
로 부피를 구할 수 있다. 그러나

이제 회전체를 다음과 같이 잘라서 생각해 보자. 구간
이라 하고 부분구간의 길이를
이라 하자.
이다. 이 사각형을

따라서 그 부피는
로 근사시킬 수 있다. 따라서 회전체의 부피는
로 근사시킬 수 있고
으로 수렴한다. 따라서 다음 결과를 얻는다.

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