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생활공학/대학기초수학

7-4 부피

by Eric87 2020. 11. 27.
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4절 부피

가로, 세로, 높이가 각각 w,l,h인 직육면체의 부피는

V=wlh

이다. 또한 반지름이 r, 높이가 h인 원기둥의 부피는 

V=πr2h

이다.

직육면체 원기둥

직육면체나 원기둥과 같은 윗면과 밑면이 합동이고 두 면을 수직으로 연결한 입체도형을 기둥면(cylinder)이라고 한다. 기둥면의 부피는 밑면의 넓이 A와 높이 h의 곱으로 주어진다.

V=Ah

부피

이 사실을 이용하여 일반적인 입체도형의 부피를 구하여 보기로 한다. x=ax=b사이에 있는 입체도형 Sx축에 수직인 단면의 넓이가 연속함수 A(x)로 주어졌다고 하자. 구간 [a,b]n등분하여 양 끝점과 각 분점의 x좌표를

x0(=a),x1,x2,,xn1,xn(=b)

이라하고 부분구간의 길이를

Δx=ban

이라 하자. 그러면 k 번째 구간의 입체 Sk의 부피는 단면적이 A(xk)(xk[xn1,xk]) 이고 높이는 Δx인 기둥면의 부피로 근사시킬수 있다.

V(Sk)A(xk)Δx

입체부피

따라서 입체의 부피는 이 부분기둥들의 부피의 합으로 근사시킬 수 있다.

VVn=nk=1A(xk)Δx

n이 커질수록 근사값은 좋아지며 그 극한값이 존재하는데 그 극한값으로 입체의 부피를 정의한다.

입체의 부피

밑면의 한 변이 r인 정사각형이고 높이가 h인 사각뿔(pyramid)의 부피를 구해보자. 사각뿔은 아래와 같다.

사각뿔

 x에서 단면의 한 변의 길이를 s라고 하면 삼각형의 닮음비에서 

h:r=x:ss=rxh

이다. 따라서 단면의 넓이는

A(x)=r2x2h2

이고 사각뿔의 부피는

h0A(x)dx=h0r2x2h2dx=r2h2h0x2dx=13r2h

이다.

1. 회전체의 부피

구는 원을 회전하면 얻어진다. 이렇게 곡선을 회전하여 얻어지는 회전체의 부피는 단면이 항상 원이므로 단면의 넓이를 쉽게 구할 수 있다. 다시 말해서, 곡선 y=f(x),axbx축으로 회전하였을 때 생기는 회전체의 x에서의 단면적은

A(x)=π[f(x)]2

이고 이 회전체의 부피는 

V=baA(x)dx=πba[f(x)]2dx

가 된다.

회전체의 부피1

마찬가지로 곡선 x=g(y),cydy축 둘레로 회전한 회전체의 부피는 다음과 같이 주어진다.

V=πdcx2dy=πdc[g(y)]2dy

예를 들어, 다음 곡선을 각각 x축과 y축 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 부피를 구해보자

y=x,0<x<4

x축 둘레로 회전하면 단면은 반지름이 y=x인 원이다.

x축 회전체

부피는

V=π40(x)2dx=π40xdx=8π

이다. 반면 y축 둘레로 회전하면 생기는 단면의 반지름은 x=y2이고 이때 0y2이다.

y축 회전

그러므로 부피는

V=π20x2dy=π20(y2)2dy=255π=325π

가 된다.

2. 회전체의 부피

직사각형 R을 회전하여 생기는 회전체의 부피는 가운데 구멍이 난 원기둥 모양이다. 따라서 그 부피는 바깥 원기둥의 부피에서 안쪽 원기둥의 부피를 빼면 된다.

속이 핀 원기둥

안 쪽 원의 반지름이 r1, 바깥 원의 반지름이 r2라면 이 회전체의 부피는

V=πr22hπr21h=π(r2r1)(r2+r1)h=2πrˉrh

가 된다. 여기서

Δr=r2r1,ˉr=r1+r22

이다. 이 사실을 이용하여 부피를 구하는 새로운 방법을 생각해 보자. 곡선

y=f(x),axb

y축 둘레로 회전한 회전체의 부피를 구하여 보기로 하자.

f가 일대일 함수이어서 역함수 g가 존재하면 x=g(y),ctd로 쓸 수 있고

V=πdc(g(y))2dy

로 부피를 구할 수 있다. 그러나 f가 다음과 같이 일대일 함수가 아닌 경우는 이 방법을 쓸 수 없고 문제가 훨씬 복잡해진다.

회전체

이제 회전체를 다음과 같이 잘라서 생각해 보자. 구간 [a,b]n 등분하여 양 끝점과 각분점의 x좌표를 

x0(=a),x1,x2,,xn1,xn(=b)

이라 하고 부분구간의 길이를

Δx=ban

이라 하자. k 번째 영역을 높이가 f(ˉxk) 인 사각형으로 근사시킬 수 있다. 여기서

ˉxk=xk1+xk2

이다. 이 사각형을 y 축 둘레로 회전하여 생긴 회전체는 바깥원의 반지름이 xk, 안쪽 원의 반지름은 xk1이고 높이는 f(ˉxk)인 구멍이 난 원기둥이다.

따라서 그 부피는

Vk=2πˉxkf(ˉxk)Δx

로 근사시킬 수 있다. 따라서 회전체의 부피는

Vnk=1Vk=2πnk=1ˉxkf(ˉxk)Δx

로 근사시킬 수 있고 n이 커지면 이 값은

2πbaxf(x)dx

으로 수렴한다. 따라서 다음 결과를 얻는다.

회전체의 부피2

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