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생활공학/대학기초수학

7-2 부분적분법 / 7-3 특이적분

by Eric87 2020. 11. 27.
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2절 부분적분법

미분가능한 두 함수 f(x),g(x)에 대하여 두 함수의 곱에 대한 미분은

[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)

으로 주어진다.

부분적분법

양변을 부정적분을 이용하여 나타내면

f(x)g(x)=[f(x)g(x)+f(x)g(x)]dx

이 된다. 따라서 다음과 같은 관계식을 얻는다.

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx

이 공식에 의한 적분법을 부분적분법(integration by parts)이라고 한다.

부분적분법

부분적분법은 다음 형태로 바꾸어 쓰면 기억하기가 더 좋다.

u=f(x),v=g(x)

라고 놓으면

du=f(x)dxdv=g(x)dx

이다. 따라서 치환적분법에 의하면 부분적분법은 다음과 같이 쓸 수 있다.

udv=unvdu

예를 들어

xsinxdx

u=x,dv=sinxdx라고 하면

du=dx,v=cosx

이다. 따라서 부분적분법에 의하면

xsinxdx=x(cosx)(cosx)dx=xcosx+cosxdx=xcosx+sinx+C

부분적분법은 두 함수의 곱을 적분할 때 유용한 방법이다. 그러나 하나의 함수도 두 함수의 곱으로 생각할 수 있다. 즉,

f(x)=1f(x)=(x)f(x)

로 놓으면 하나의 함수의 부정적분도 부분적분법을 이용하여 구할 수 있다.

정적분의 부분적분법

f(x)g(x)=[f(x)g(x)+f(x)g(x)]dx이므로 미적분의 기본정리를 적용하면

f(x)g(x)|ba=ba[f(x)g(x)+f(x)g(x)]dx

이다. 따라서 정적분의 부분적분법은 다음과 같이 쓸 수 있다.

정적분의 부분적분법

3절 특이적분

지금까지 우리는 유한한 닫힌 구간 [a,b]에서 정의된 연속인 함수 f에 대하여 정적분 baf(x)dx을 정의하였다. 이 절에서는 두 가지 조건 중에서 적어도 하나가 성립하지 않는 경우의 정적분을 정의한다. 이러한 경우의 정적분을 특이적분(improper integral)이라 부른다.

무한구간에서 정의된 특이적분

1사분면에서 곡선 y=ex아래 있는 영역을 생각해 보자.

지수함수

이 영역의 넓이는 구간 [0,)에서 정의된 정적분의 값으로 이해할 수 있다. 임의의 양수 t에 대하여 구간 [0,t]에서의 넓이를 A(t)라고 하자. 그러면 정적분의 정의에 의하여

A(t)=t0exdx=ex|t0=1et

이다. t 일 때, A(t)의 값은 1로 수렴한다. 따라서 빗금친 부분의 넓이는 1이라고 할 수 있다.

일반적으로 무한 구간 [a,)에서 정의된 연속함수 f에 대하여 limttaf(x)dx 가 존재하면 af(x)dx 을 다음과 같이 정의한다.

af(x)dx=limttaf(x)dx

이 극한값이 존재할 때 특이적분 af(x)dx는 수렴한다(converge)고 말한다. 극한 값이 존재하지 않을 때는 발산하다(diverge)고 한다. 특이적분 af(x)dx도 비슷한 방법으로 정의한다.

무한구간에서의 특이적분

불연속함수의 특이적분

특이적분의다른 형태는 피적분함수가 유한한 구간에서 정의되지만 구간의 한점에서 불연속인 경우에 정의된다. 예를 들어, 1사분면에서 곡선 y=x12와 직선 x=1에 의하여 만들어지는 영역을 생각해 보자.

우선 0<t<1 일 때, 구간 [t,1]에서 영역의 넓이를 구하면 다음과 같다.

1tx12dx=112+1x12|1t=2(1t)

주어진 영역의 넓이는 t0+ 일 때의 극한값으로 주어진다. 즉,

10x12dx=limt0+2(1t)=2

이다. 일반적으로 함수 f(x)가 구간 (a,b]에서 연속이고 x=a에서 불연속이면 특이적분 baf(x)dx 는 다음과 같이 정의한다.

baf(x)dx=limta+btf(x)dx

함수 f(x)가 구간 [a,b)에서 연속이고 x=b에서 불연속인 경우도 같은 방법으로 정의한다.

불연속함수의 특이적분

특이적분의 비교판정법

특이적분의 정확한 값을 구하는 것은 대부분의 경우 아주 어렵거나 불가능하다. 이런 경우 특이적분의 수렴여부는 다른 함수의 특이적분과 비교하여 판정할 수 있다. 이러한 판정법을 특이적분에 대한 비교판정법(comparison test)이라고 한다.

비교판정법

양의 값을 갖는 함수의 적분은 함수의 그래프와 x축 사이의 넓이로 이해할 수 있으므로 비교판정법은 작은 함수의 넓이가 큰 함수의 넓이보다 작다는 사실로부터 유추할 수 있다. 

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