5절 곡선의 길이와 곡면의 넓이
함수의 그래프로 만들어지는 영역의 넓이는 직사각형을 이용하여 구하였다. 함수의 그래프의 길이는 직선을 이용하여 근사적으로 구한다.
구간
라고 하자. 여기서

여기서
이다.
을 만족하는 값
이므로
을 얻는다.

같은 방법으로 곡선
월뿔대의 겉넓이
반지름이
이다. 원뿔의 옆넓이도 전개도에서 구할 수 있다. 반지름이

따라서 옆넓이는
이다. 그렇다면 좀 더 일반적인 회전체의 겉넓이는 어떻게 구할까? 우선 직선의 일부를
원점을 지나는 직선을

월뿔대에 그린 두 직각삼각형은 닮은 꼴이므로
이다. 따라서
$$r_2l=r_1{l+\Delta l)\quad or\quad (r_2-r_1)l=r_1\Delta l$$
이고 이 식을 식 (7.5)에 대입하면
을 얻는다.
회전체의 겉넓이
원기둥이나 원뿔의 경우처럼 전개도를 그릴 수 있다면 입체도형의 겉넓이를 구하는 문제는 평면도형의 넓이를 구하는 문제가 된다. 그러나 일반적인 입체도형의 경우 전개도를 그리는 것은 불가능하다. 그렇다면 회전체의 겉넓이는 어떻게 정의하고 어떻게 구할까? 곡선을 회전시켜 얻어지는 회전체의 겉넓이는 곡선의 길이를 구할 때와 마찬가지로 곡선을 직선으로 근사시켜서 그 회전체의 겉넓이의 극한값으로 정의한다.
미분가능한 함수
라고 하고
인 원뿔대이다.

따라서
임을 알 수 있다. 따라서 회전체의 겉넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.
이 식을 길이함수
을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

같은 방법으로

도형의 중심
여기서
부피에 대한 파푸스의 정리
곡선
이다. 다시 두 곡선
가 된다. 다시 말해서, 회전체의 부피
이다. 즉,

곡선의 중심
곡선
곡선의 길이를
이라고 하면 곡선의 중심은 다음과 같이 구할 수 있다.
곡선의 중심은 일반적으로 곡선 위의 점이 아니다.
겉넓이에 대한 파푸스의 정리
곡선
이므로
이다. 다시 말해서, 회전체의 겉넓이
가 됨을 보일 수 있다. 따라서
이다. 다시 말해서, 회전체의 겉넓이

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