6-3 미적분의 기본정리

3절 미적분의 기본정리

미분과 적분은 서로 역작용으로 이해할 수 있다. 즉, 어떤 함수를 적분한 후 다시 미분하면 원래의 함수가 되고 반대로 어떤 함수를 미분한 것을 다시 적분하면 원래의 함수가 된다. 이러한 원리를 미적분의 기본정리(fundamental theorem of calculus)라고 한다.

구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

라고 하자. $f(t)\ge 0$이면 기하학적으로 $F(x)$는 구간 $[a,x]$에서 함수 $y=f(t)$와 $x$ 축 사이의 넓이 $S$를 의미한다.

적분

$x$가 $x+h$까지 변화할 때 $h>0$이면 $F(x+h)-F(x)$는 구간 $[x,x+h]$에서의 넓이이고 $h<0$이면 $F(x+h)-F(x)$는 구간 $[x+h,x]$에서의 넓이 $F(x)-F(x+h)$의 음의 값을 취한 값이다. 구간 $[x,x+h]$ 또는 $[x+h,x]$에서의 연속함수 $f(t)$의 최소값을 $m$, 최대값을 $M$이라고 하자.

$h>0$이면

$$mh\le F(x+h)-F(x)\le Mh$$

이고 $h<0$이면

$$m(-h)\le F(x)-F(x+h)\le M(-h)$$

이므로 두 경우 모두

$$m\le \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\le M$$

임을 알 수 있다. 함수 $f$는 연속이므로 $h\to 0$이면 $m,M\to f(x)$이다. 따라서 다음 등식이 성립한다.

$$F^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$$

이 결과를 미적분의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)라고 한다.

미적분의 기본정리

1. $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ 라고 하면

$${\int }_x^{a}f(t)dt=-{\int }_a^{x}f(t)dt=-F(x)$$

이다. 따라서

$$\frac{d}{dx}({\int }_x^{a}f(t)dt)=-f(x)$$

가 성립한다.

2. $G(x)={\int }_a^{g(x)}f(t)dt$ 라고 하면

$$G(x)=F(g(x))$$

이다. 따라서 합성합수의 미분법을 사용하면

$$G^{\prime }(x)=F^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=f(g(x))g^{\prime }(x)$$

가 성립한다. 다시 말해서 다음 식이 성립한다.

$$\frac{d}{dx}({\int }_a^{g(x)}f(t)dt)=f(g(x))g^{\prime }(x)$$

정적분 구하기

이제 미적분의 기본정리를 이용하여 정적분의 값을 어떻게 구하는지 살펴보기로 한다. $f(x)$의 역도함수를 하나 찾았다고 하자. 다시 말해서, 어떤 함수 $F(x)$가 

$$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$$

를 만족한다고 하자. 그러면 미적분의 기본정리에서

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$

이므로 모든 $x$에 대하여

$$\frac{d}{dx}[{\int }_a^{x}f(t)dt-F(x)]=f(x)-f(x)=0$$

이다. 도함수가 0인 함수는 상수함수이므로

$$in{t}_a^{x}f(t)dt-F(x)=C$$

이다. $x=a$이면 $-F(a)=C$이므로

$${\int }_a^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)$$

정적분의 계산

위의 결과에서 $F(b)-F(a)$를

$$[F(x){]}_a^{b}orF(x){|}_a^b$$

로 나타내기도 한다. 이 기호에 의하면

$$F^{\prime }(x)=f(x)\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_a^b$$

로 쓸 수 있다.

구간별 적분

함수 $f(x)$가 세 점 $a,b,c$를 포함하는 구간에서 연속이라고 하자. $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라고 하면

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx=& F(c)-F(a)+F(b)-F(c)\\ =& F(b)-F(a)\\ =& {\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$

이 성립한다. 이 관계식은 $a,b,c$의 대소관계에 상관없이 항상 성립한다.

정적분의 성질2

다음 그림은 $a\le c\le b$인 경우 $f(x)\ge 0$ 일 때의 상황을 그래프로 나타낸 것이다.

정적분 합

정적분의 성질2는 다음과 같이 차의 형태로도 나타낼 수 있다.

$${\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{c}f(x)dx$$

정적분의 넓이

연속함수 $y=f(x)$가 

$$\begin{gathered} f(x)\ge 0,a\le x\le b \\ f(x)\le 0,b\le x\le c \end{gathered}$$

라고 하자. 그러면 구간 $[a,b]$에서 곡선과 $x$축 사이의 넓이를 $A_1$, 구간 $[b,c]$에서 곡선과 $x$축 사이의 넓이를 $A_2$라고 하면

$${\int }_a^{b}f(x)dx=A_1,{\int }_b^{c}f(x)dx=-A_2$$

임을 알고 있다. 따라서

$${\int }_a^{c}f(x)dx=A_1-A_2$$

가 된다. 다시 말해서 구간 $[a,c]$에서 연속함수 $y=f(x)$의 정적분은 함수가 양수인 부분의 넓이에서 함수가 음수인 부분의 넓이를 뺀 것과 같다.

정적분과 넓이

조각적으로 정의된 함수

연속함수가 구간마다 다르게 정의되어 있으며 전체 구간에서 역도함수를 구하는 것이 어려워진다. 이런 경우 구간별로 정적분을 구하여 더하면 전체 정적분의 값을 구할 수 있다.

조각적으로 연속인 함수의 정적분은 구간별 적분의 합으로 정의한다. 예를 들어, 구간 $[a,c)$에서 연속인 함수 $g(x)$와 구간 $(c,b]$에서 연속인 함수 $h(x)$에 대하여

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}g(x),& x\in [a,c)\\ h(x),& x\in (c,b]\\ f(c),& x=c\end{array}$$

라고 하자. 그러면 구간 $[a,b]$에서 $f(x)$의 정적분은 다음과 같이 정의한다.

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}g(x)dx+{\int }_c^{b}h(x)dx$$

이러한 정의는 명백한 방법으로 조각적으로 연속인 함수에 대하여 확장된다.