6-3 미적분의 기본정리

3절 미적분의 기본정리

미분과 적분은 서로 역작용으로 이해할 수 있다. 즉, 어떤 함수를 적분한 후 다시 미분하면 원래의 함수가 되고 반대로 어떤 함수를 미분한 것을 다시 적분하면 원래의 함수가 된다. 이러한 원리를 미적분의 기본정리(fundamental theorem of calculus)라고 한다.

구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여

$$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$$

라고 하자. $f(t)\geq0$이면 기하학적으로 $F(x)$는 구간 $[a,x]$에서 함수 $y=f(t)$와 $x$ 축 사이의 넓이 $S$를 의미한다.

적분

$x$가 $x+h$까지 변화할 때 $h>0$이면 $F(x+h)-F(x)$는 구간 $[x,x+h]$에서의 넓이이고 $h<0$이면 $F(x+h)-F(x)$는 구간 $[x+h,x]$에서의 넓이 $F(x)-F(x+h)$의 음의 값을 취한 값이다. 구간 $[x,x+h]$ 또는 $[x+h,x]$에서의 연속함수 $f(t)$의 최소값을 $m$, 최대값을 $M$이라고 하자.

$h>0$이면

$$mh\leq F(x+h)-F(x)\leq Mh$$

이고 $h<0$이면

$$m(-h)\leq F(x)-F(x+h)\leq M(-h)$$

이므로 두 경우 모두

$$m\leq\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\leq M$$

임을 알 수 있다. 함수 $f$는 연속이므로 $h\rightarrow0$이면 $m,M\rightarrow f(x)$이다. 따라서 다음 등식이 성립한다.

$$F'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$$

이 결과를 미적분의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)라고 한다.

미적분의 기본정리

1. $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 라고 하면

$$\int_{x}^{a}f(t)dt=-\int_{a}^{x}f(t)dt=-F(x)$$

이다. 따라서

$$\frac{d}{dx}(\int_{x}^{a}f(t)dt)=-f(x)$$

가 성립한다.

2. $G(x)=\int_{a}^{g(x)}f(t)dt$ 라고 하면

$$G(x)=F(g(x))$$

이다. 따라서 합성합수의 미분법을 사용하면

$$G'(x)=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)$$

가 성립한다. 다시 말해서 다음 식이 성립한다.

$$\frac{d}{dx}(\int_{a}^{g(x)}f(t)dt)=f(g(x))g'(x)$$

정적분 구하기

이제 미적분의 기본정리를 이용하여 정적분의 값을 어떻게 구하는지 살펴보기로 한다. $f(x)$의 역도함수를 하나 찾았다고 하자. 다시 말해서, 어떤 함수 $F(x)$가 

$$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$$

를 만족한다고 하자. 그러면 미적분의 기본정리에서

$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$$

이므로 모든 $x$에 대하여

$$\frac{d}{dx}[\int_{a}^{x}f(t)dt-F(x)]=f(x)-f(x)=0$$

이다. 도함수가 0인 함수는 상수함수이므로

$$int_{a}^{x}f(t)dt-F(x)=C$$

이다. $x=a$이면 $-F(a)=C$이므로

$$\int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)$$

정적분의 계산

위의 결과에서 $F(b)-F(a)$를

$$[F(x)]_a^b\quad or\quad F(x)|_a^b$$

로 나타내기도 한다. 이 기호에 의하면

$$F'(x)=f(x)\quad\Rightarrow\quad\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_a^b$$

로 쓸 수 있다.

구간별 적분

함수 $f(x)$가 세 점 $a,b,c$를 포함하는 구간에서 연속이라고 하자. $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라고 하면

$$\begin{align*} \int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx=&F(c)-F(a)+F(b)-F(c)\\
=&F(b)-F(a)\\
=&\int_{a}^{b}f(x)dx
\end{align*}$$

이 성립한다. 이 관계식은 $a,b,c$의 대소관계에 상관없이 항상 성립한다.

정적분의 성질2

다음 그림은 $a\leq c\leq b$인 경우 $f(x)\geq0$ 일 때의 상황을 그래프로 나타낸 것이다.

정적분 합

정적분의 성질2는 다음과 같이 차의 형태로도 나타낼 수 있다.

$$\int_{c}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{c}f(x)dx$$

정적분의 넓이

연속함수 $y=f(x)$가 

$$f(x)\geq0,\quad a\leq x\leq b\\f(x)\leq0,\quad b\leq x \leq c$$

라고 하자. 그러면 구간 $[a,b]$에서 곡선과 $x$축 사이의 넓이를 $A_1$, 구간 $[b,c]$에서 곡선과 $x$축 사이의 넓이를 $A_2$라고 하면

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=A_1,\quad\int_{b}^{c}f(x)dx=-A_2$$

임을 알고 있다. 따라서

$$\int_{a}^{c}f(x)dx=A_1-A_2$$

가 된다. 다시 말해서 구간 $[a,c]$에서 연속함수 $y=f(x)$의 정적분은 함수가 양수인 부분의 넓이에서 함수가 음수인 부분의 넓이를 뺀 것과 같다.

정적분과 넓이

조각적으로 정의된 함수

연속함수가 구간마다 다르게 정의되어 있으며 전체 구간에서 역도함수를 구하는 것이 어려워진다. 이런 경우 구간별로 정적분을 구하여 더하면 전체 정적분의 값을 구할 수 있다.

조각적으로 연속인 함수의 정적분은 구간별 적분의 합으로 정의한다. 예를 들어, 구간 $[a,c)$에서 연속인 함수 $g(x)$와 구간 $(c,b]$에서 연속인 함수 $h(x)$에 대하여

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
g(x), &x\in[a,c) \\ 
h(x), &x\in(c,b] \\ 
f(c), &x=c 
\end{matrix}\right.$$

라고 하자. 그러면 구간 $[a,b]$에서 $f(x)$의 정적분은 다음과 같이 정의한다.

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}g(x)dx+\int_{c}^{b}h(x)dx$$

이러한 정의는 명백한 방법으로 조각적으로 연속인 함수에 대하여 확장된다.