반응형 생활공학/대학기초수학29 5-1 로피탈의 법칙 1절 로피탈의 법칙 우리는 여러 형태의 부정형의 극한값을 구하였다. 그 중 어떤 것은 대수적인 성질을 이용하였고 $$\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4}{x^2-x-2},\qquad\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x^2}$$ 어떤 것은 기하학적인 성질을 이용하였다. $$\lim_{t\rightarrow0}\frac{sin\;t}{t}$$ 이 절에서는 이러한 부정형의 극한값을 구하는 일반적인 방법을 알아보기로 한다. 로피탈의 법칙 미분가능한 두 함수 $f,g$에 대하여 $$f(a)=g(a)=0$$ 이라고 하자. $f',g'$이 연속이고 $g'(a)\neq0$이면 $$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(.. 2020. 11. 25. 4-5 지수,로그함수의 도함수 5절 지수,로그함수의 도함수 지수함수 $f(x)=a^x$의 도함수를 정의를 이용하여 계산하면 $$\begin{align*}f'(x)=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}\\=&a^x\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h} \end{align*}$$ 을 얻는다. 따라서 $f(x)=a^x$가 $x=0$에서 미분가능하면, 다시 말해서 $$f'(0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}=L_a$$ 가 존재하면 $$(a^x)'=L_aa^x$$ 가 됨을 알 수 있다. 극한값 $L_a$는 그래프 $f(x)=a^x$의 $x=0$에서의 기울기이다. $a$.. 2020. 11. 25. 4-4 지수함수와 로그함수 4절 지수함수와 로그함수 양의 실수 $a$에 대하여 실수 집합에서 정의된 함수 $$f(x)=a^x$$ 을 지수함수(exponential function)라고 한다. 여기서 자연수 $n$에 대하여 $$a^n=a\cdot a\cdot a \cdots a$$ 으로 정의하고 $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$ 으로 정의한다. $a^0=1$로 놓는다. $x$가 유리수이면 서로 소인 정수 $p,q$에 대하여 $x=\frac{p}{q}$로 쓸 수 있고 $$a^x=(\sqrt[q]{a})^p$$ 으로 정의한다. 그렇다면 무리수 $x$에 대하여 $a^x$는 어떤 의미일까? 이 경우, $a^x$의 정의는 유리수의 경우처럼 직접적이지는 않다. $x$에 수렴하는 임의의 유리수 수열$(x_n)$에 대하여 $$a^x=\.. 2020. 11. 24. 4-2 / 4-3 삼각함수와 역삼각함수의 도함수 2절 삼각함수의 도함수 사인함수의 덧셈법칙에서 $$sin(x+h)=sinx cosh+cosx sinh$$ 이므로 $$sin(x+h)-sinx=sinx(cosh-1)+cosx sinh$$ 이 된다. 따라서 $$\begin{align*} (sinx)'=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}\\=&\lim_{h\rightarrow 0}[sinx\frac{cosh-1}{h}+cosx\frac{sinh}{h}]\\=&sinx\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cosh-1}{h}+cosx\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinh}{h}\\=&sinx\cdot0+cosx\cdot1\\=&cosx \end{align*}$$ 임을 알 수 있다. $$c.. 2020. 11. 24. 4-1 삼각함수 1절 삼각함수 각의 크기는 30˚,45˚처럼 일반적으로 60분법을 이용하여 나타낸다. 그러나 이론적으로는 호도법을 이용하여 각의 크기를 실수로 나타낸다. 호도법은 각의 크기를 단위원에서 대응하는 호의 길이를 이용하여 나타내는 방법이다. 단위원에서 호의 길이가 1일 때 대응하는 중심각을 1rad 라고 정의하고 1 라디안(radian)이라고 읽는다. 반지름이 1인 반원의 호의 길이는 $\pi$이므로 $$180^{\circ}=\pi (rad)$$ 이다. 따라서 $$30^{\circ}=\frac{180^{\circ}}{6}=\frac{\pi}{6}(rad),\quad 45^{\circ}=\frac{180^{\circ}}{4}=\frac{\pi}{4}(rad)$$ 이다. 특별히 혼란의 위험이 없으면 호도법의 단위.. 2020. 11. 24. 3-5 함수의 그래프 다음 두 그래프는 모두 증가하는 함수의 그래프이지만 다른 특징을 갖는다. 함수의 볼록성 주어진 구간에서 첫 번째 그래프는 위로 볼록(concave down)하다고 하고 두 번째 그래프틑 아래로 볼록(concave up)하다고 한다. 이는 곡선 위의 임의의 두 점을 연결하였을 때 위로 볼록한 경우 곡선의 그래프가 직선의 그래프보다 위에, 아래로 볼록한 경우는 곡선의 그래프가 직선의 그래프보다 아래에 있다. 만약 $f(x)$가 미분가능한 함수라면 첫 번째 경우는 $x$가 커지면 접선의 기울기가 점점 작아진다. 다시 말해서 $f'(x)$가 감소한다. 반면 두 번째 경우는 접선의 기울기 $f'(x)$가 점점 커진다. 이러한 성질을 미분가능한 함수 $y=f(x)$의 볼록성을 정의하는 데에 사용한다. 만약 $y=f.. 2020. 11. 24. 3-4 평균값 정리와 극값 평균값정리와 극값 정의역이 실수집합인 함수의 그래프를 그린다고 하자. 유한한 평면에 그래프를 그리려면 x의 범위를 어느 정도 잡아서 그려야 할까? 다음은 $$y=x^3-120x$$ 의 그래프를 구간 [-5,5]에서 그린 것이다. 그래프는 주어진 구간에서 단순감소하는 모양을 보이는데 이는 $\lim_{x\rightarrow\infty}y=\infty$라는 사실을 생각하면 그래프 전체의 특성이라고 볼 수는 없다. 이렇게 함수 전체의 특성이 나타나지 않으므로 다음과 같이 x의 범위를 늘여서 다시 그려 보자. 다음은 같은 함수를 구간 [-50,50]에서 그린 것이다. 이번에는 함수는 단순증가하는 모양을 보이는데 [-5,5]에서 그린 그래프로부터 이 또한 사실이 아님을 알 수 있다. 이러한 현상은 함수의 치역이 .. 2020. 11. 23. 3-3 연쇄법칙과 역함수 정리 3절 연쇄법칙과 역함수 정리 2절의 합성함수를 다시 살펴보자. $y=(x^2-x+1)^2$에서 $$f(u)=u^2,\quad u=g(x)=x^2-x+1$$ 이라고 하면 $$y=g^2(x)=f(g(x))$$ 와 같이 합성함수로 나타낼 수 있다. 이때 $$y'=2(x^2-x+1)(2x-1)$$ 은 f와 g를 이용하여 나타내면 f'(u)=2u이므로 $$y'=f'(g(x))g'(x)$$ 이 성립한다. 연쇄법칙 이러한 관계식 (3.3)은 일반적인 합성함수에 대하여도 성립한다. $y=f(x), z=g(y)$가 미분가능한 함수이고 $$F(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))$$ 라고 하자. $$u(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}-f'(x)\\v(s)=\frac{g(s)-g(y)}{s-y}-g'(y.. 2020. 11. 20. 3-2 도함수 2절 도함수 1절에서 함수 $f$가 정의역의 한 점 $x=a$에서 미분가능할 때 미분계수 $f'(a)$를 정의하였다. 함수 $f$가 미분가능한 점들의 집합을 $I$라고 하면 $x\in I$에 대하여 $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ 로 정의된 함수 $f':I\rightarrow \mathbb{R}$을 $f$의 도함수(derivative)라고 부른다. $y=f(x)$의 도함수는 다음과 같이 여러 방법으로 나타낸다. $$y',\quad f'(x),\quad \frac{dy}{dx},\quad \frac{df}{dx}(x)$$ 미분법칙 이제 두 함수의 연산에 대하여 도함수를 구하여 보기로 한다. 두 함수 $f,g$가 미분가능하다고 하자 $$\frac{.. 2020. 11. 20. 이전 1 2 3 4 다음 반응형
