3-4 평균값 정리와 극값

평균값정리와 극값

정의역이 실수집합인 함수의 그래프를 그린다고 하자. 유한한 평면에 그래프를 그리려면 x의 범위를 어느 정도 잡아서 그려야 할까? 다음은

$$y=x^3-120x$$

의 그래프를 구간 [-5,5]에서 그린 것이다.

그래프는 주어진 구간에서 단순감소하는 모양을 보이는데 이는 $\lim_{x\rightarrow\infty}y=\infty$라는 사실을 생각하면 그래프 전체의 특성이라고 볼 수는 없다. 이렇게 함수 전체의 특성이 나타나지 않으므로 다음과 같이 x의 범위를 늘여서 다시 그려 보자. 다음은 같은 함수를 구간 [-50,50]에서 그린 것이다.

이번에는 함수는 단순증가하는 모양을 보이는데 [-5,5]에서 그린 그래프로부터 이 또한 사실이 아님을 알 수 있다. 이러한 현상은 함수의 치역이 아주 커지면서 원점근방에서 일어나는 상대적으로 작은 변화가 시각화되지 않았기 때문이다. 다음은 구간 [-15,15]에서 같은 함수의 그래프를 그린 것이다.

이 그래프에 의하면 약 -6까지는 증가하다가 6까지는 감소하고 다시 그 이후에는 증가하는 형태를 보여 준다. 따라서 이 그래프는 앞의 두 그래프보다 훨씬 많은 정보를 우리에게 전해 준다. 이렇게 함수의 그래프를 그릴 때 어느 구간에서 그래프를 그리느냐에 다라 우리가 얻을 수 있는 정보의 양이 달라진다. 이제 함수의 그래프를 그릴 때 얻고자 하는 정보를 살펴보고 그 정보들을 모두 나타내려면 그래프를 어느 구간에서 그려야 하는지를 살펴보기로 한다.

롤의 정리

최대값 최소값 정리에 의하면 닫힌 구간 [a,b]에서 정의된 연속함수는 항상 최대값과 최소값을 갖는다. 이 결과를 이용하면 다음 롤의 정리(Rolle's theorem)를 증명할 수 있다.

롤의 정리

함수 $f(x)$가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이므로, 이 구간에서 최대값 $M$과 최소값 $m$을 갖는다. 

1. $M=m$이면 $f(x)$는 닫힌 구간 [a,b]에서 상수함수이다. 따라서 $a<c<b$인 모든 $c$에 대하여

$$f'(c)=0$$

이 성립한다.

2. $M>m$이면 $f(a)=f(b)$이므로 열린구간 (a,b)의 한 점 $c$에 대하여 

$$f(c)=M\qquad or \qquad f(c)=m$$

이 성립한다. 만약 $f(c)=M$이면 $c+h\in[a,b]$인 모든 $h$에 대하여 

$$f(c+h)\leq f(c)$$

이다. 따라서 $h>0$이면

$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq 0$$

이고 $f(x)$가 $x=c$에서 미분가능하므로

$$f'(c)=\lim_{h\rightarrow0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0$$

이다. 마찬가지로 $h<0$이면

$$\frac{f(c+H)-f(c)}{h}\geq0$$

이고 $f(x)$가 $x=c$에서 미분가능하므로

$$f'(c)=\lim_{h\rightarrow0^-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq0$$

이다. 따라서 $f'(c)=0$이다.

평균값 정리

롤의 정리를 이용하면 다음 평균값 정리(mean value theorem)를 얻는다.

평균값 정리

평균값정리는 어떤 구간에서 정의된 미분가능한 함수의 평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 존재한다는 것을 말해 준다.

평균값 정리 증명

롤의 정리로부터 평균값 정리를 증명하기 위하여 함수 $g(x)$를 다음과 같이 정의하자. 

$$g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

$g(x)$는 구간 [a,b]에서 연속이고 구간 (a,b)에서 미분가능하다. 또한

$$g(a)=g(b)=0$$

이므로 롤의 정리에 의하여

$$0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

을 만족하는 c가 열린 구간 (a,b)안에 존재한다.

도함수와 함수의 증감

구간 [a,b]에서 $f'(x)=0$이라고 하자. 평균값정리에 의하면 $x\in I$에 대하여

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c)=0$$

인 $c\in [a,b]$가 존재한다. 따라서 모든 $x\in[a,b]$에 대하여

$$f(x)=f(a)$$

인 상수함수가 된다. 이제 어떤 구간 $I$에서 정의된 함수 $y=f(x)$에 대하여 $f'(x)>0$이면 어떤 일이 일어나는지 살펴보기로 하자. 구간 내의 임의의 두 점 $x,y(x<y)$에 대하여

$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(c)$$

인 점 c가 [x,y]에 존재한다. 따라서 $x<y$이면

$$f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)>0$$

이 성립한다. 다시 말해서 구간 $I$에서 함수 $y=f(x)$는 순증가함수(strictly increasing function)이다. 마찬가지로 구간의 모든 점에서 $f'(x)<0$이면 $f$는 그 구간에서 순감소함수(strictly decreasing function)가 됨을 보일 수 있다.

도함수와 함수의 증감

극대값과 극소값

다음 그래프를 그려 보면

그래프로부터 $x=4$ 일 때 최대값 $f(4)=38, x=-3$ 일 때 최소값 $f(-3)=-39$ 임을 알 수 있다. 만약 구간을 $(-2,0)$으로 제한하거나 $(1,3)$으로 제한한다면 첫 번째 경우는 $x=-1$에서 최대값을 갖고 두 번째 경우는 $x=2$에서 최소값을 갖는다는 것을 관찰할 수 있다. 이렇게 정의역에서 한 점 $x=a$를 포함하는 어떤 열린 구간에서 $f(a)$가 최대값(최소값)이 되면 $y=f(x)$는 $x=a$에서 극대(극소)가 된다고 하고, $x=a$를 극대점(극소점), $f(a)$를 극대값(극소값)(local maximum/local minimum)이라고 한다.

극대값과 극소값

극대점과 극소점을 통틀어 극점(extremal point)이라고 하고, 극대값과 극소값을 통틀어 극값(extremum)이라고 한다.

다음 그래에서 볼 수 있듯이 극대값이 항상 극소값보다 큰 것은 아니다.

이제 미분가능한 함수에 대하여 극점에서 어떤 성질이 있는지를 살펴보기로 한다. 우선 $y=f(x)$의 도함수 $y=f'(x)$가 연속함수라고 하자. 그래프를 살펴보면 극대점과 극소점에서 미분계수는 0이 됨을 알 수 있다. 이러한 사실은 미분가능한 모든 함수에 대하여 성립한다. 미분가능한 함수 $y=f(x)$가 $x=c$에서 극대값을 갖는다고 하자. 그러면 어떤 양수 $h$에 대하여 구간$(c-h, c+h)$의 모든 $x$에 대하여

$$f(x)\leq f(c)$$

가 성립한다. 따라서 x\in(c,c+h)이면

$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0$$

이므로

$$f'_+(c)=\lim_{x\rightarrow c^+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq0$$

이 성립한다. 마찬가지로 $x\in(c-h,c)$이면 $x-c<0$이므로

$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq0$$

이 성립하고

$$f'_-(c)=\lim_{x\rightarrow c^-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq0$$

을 얻는다. $f$는 $x=c$에서 미분가능하므로

$$f'_+(c)=f'_-(c)$$

이고 $f'(c)=0$임을 알 수 있다.

극점에서 미분계수

이 결과의 역은 일반적으로 참이 아니다. 다시 말해서 미분가능한 함수 $y=f(x)$에 대하여 $f'(c)=0$이라고 해서 $y=f(x)$가 항상 극값을 갖는 것은 아니다.

임계점

다음 그림들에서 볼 수 있는 것처럼 함수 $y=f(x)$가 $x=c$에서 미분가능하지 않더라도 극값을 가질 수 있다.

따라서 어떤 함수 $y=f(x)$가 $x=c$에서 극값을 갖는다면 $f'(c)$가 존재하지 않거나 또는 $f'(c)=0$이다. 이러한 성질을 갖는 점 $x=c$를 임계점(critical point)이라고 한다.

임계점

위의 논의들을 요약하면 $x=c$에서 $y=f(x)$가 극값을 가지면 $x=c$는 임계점이다. 다시 말하면 $x=c$가 임계점이 아니면 $y=f(x)$는 $x=c$에서 극값을 갖지 않는다. 따라서 극값을 구하기 위해서는 임계점만 살펴보면 된다.