2-5 연속함수

2-3에서 우리는 다항식의 경우 임의의 점 $x=a$에서 함수의 극한값과 함수값이 일치하는 것을 보았다. 함수가 이러한 성질을 가질 때 $f$는 $x=a$에서 연속(continuous)이라고 한다.

연속함수

식 (2.1)은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$$\lim_{h\rightarrow0}f(a+h)=f(a)$$

함수 $f$가 $x=a$에서 연속이라는 것은 다음과 같은 세 가지 사실을 내포하고 있다.

1. $f(a)$가 존재한다.($a$가 정의역에 속한다.)

2. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$가 존재한다.

3. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

함수 $f$가 $x=a$에서 연속이 아닐 때, $f$가 $x=a$에서 불연속(discontinuous)이라고 하고 $x=a$를 $f$의 불연속점(discontinuity)이라고 한다. $f$가 $a$에서 불연속인 경우는 다음 세가지 겨우이다.

1. $f(a)$가 존재하지 않는다.($a$가 정의역에 속하지 않는다.)

2. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$가 존재하지 않는다.

3. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$가 존재하지만 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)\neq f(a)$이다.

(a),(c)의 경우 0에서 $f$가 정의되지 않으므로 불연속이다. (b)에서는 $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$가 존재하지 않으므로 불연속이다. 마지막으로 (d)에서는 $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=0\neq f(0)=1$이므로 0에서 불연속이다.

(c),(d)의 경우 각각 $f(0)=1$과 $f(0)=0$으로 다시 정의하면 $f$는 0에서 연속이다. 이렇게 불연속점에서 연속이 되도록 함수를 다시 정의할 수 있으면 제거가능한 불연속점(removable discontinuity)이라고 한다. (b)의 경우처럼 좌극한, 우극한이 존재하면서 두 값이 다른 경우 비약 불연속(jump discontinuity)이라고 부른다.

연속함수

최대정수함수 $y=[x]$의 경우 0에서 우극한값과 함수값이 일치한다. 이런 경우 $f$는 0에서 오른쪽으로부터 연속이라고 한다. 일반적으로

$$\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=f(a)$$

이면 $a$에서 함수 $f$는 오른쪽으로부터 연속(continuous from the right)이라고 한다. 마찬가지로

$$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=f(a)$$

이면 $a$에서 함수 $f$는 왼쪽으로부터 연속(continuous from the left)이라고 한다. $f$의 정의역이 구간 [a,b]로 주어질 때

$$\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=f(a)$$

이면, 다시 말해서 오른쪽에서 연속이면 연속이라고 한다 같은 방법으로 

$$\lim_{x\rightarrow b^-}f(x)=f(b)$$

이면, 다시 말해서 $x=b$에서는 왼쪽에서 연속이면 연속이라고 한다. 함수 $f$가 구간의 모든 점에서 연속이면 구간에서 연속이라고 한다. 함수가 정의역의 모든 점에서 연속이면 연속함수(continuous function)라고 한다.

연속함수

함수의 연산과 합성

함수의 연산으로 구해지는 복잡한 함수의 연속성은 함수의 연산에 대한 극한법칙으로부터 확인할 수 있다. 예를 들어 두 함수 $f$와 $g$가 $a$에서 연속이면

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a),\quad \lim_{x\rightarrow a}g(x)=g(a)$$

이다. 따라서 극한성질에 의하면

$$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow a}[f(x)+g(x)])=&\lim_{x\rightarrow a}f(x)+ \lim_{x\rightarrow a}g(x)\\
=&f(a)+g(a)\\=&(f+g)(a)
 \end{align*}$$

이다. 따라서 함수 $f+g$는 $a$에서 연속이다. 같은 방법으로 다음 사실을 보일 수 있다.

함수의 연산 연속성

합성함수는 주어진 함수들에서 새로운 함수를 만들어내는 또 하나의 방법이다. a근방에서 정의된 함수 g와 b=g(a)근방에서 정의된 함수 f에 대하여 합성함수 $f\circ g$는 다음과 같이 정의한다.

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

$g$가 $a$에서 연속이고 $f$가 $b=g(a)$에서 연속이라고 하자. 그러면 $x$가 $a$로 갈 때 $g(x)$는 $b$로 가까워지고 ($g$가 $a$에서 연속이므로) $g(x)$가 $b$로 가면 $f(g(x))$는 $f(b)=f(g(a))$로 가까워진다. ($f$가 $b$에서 연속이므로)

$$\lim_{x\rightarrow a}f(g(x))=f(g(a))$$

다시 말해서 $f\circ g$는 $a$에서 연속이다.

합성함수의 연속성

2-3절의 결과에 의하면 모든 다항함수와 유리함수는 정의역에서(즉, 분모가 0이 아닌 점에서) 연속이다. 그 이외에도 제곱근함수 $f(x)=x^r$, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등은 연속함수이다. 이러한 함수들의 연산, 또는 합성으로 만들어지는 함수들도 역시 연속함수이다.

조각적으로 연속인 함수

헤비사이드 함수

$$H(t)=\left\{\begin{matrix}
0, & t<0\\ 
1, & t\geq0
\end{matrix}\right.$$

나 절대값함수

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x, & x<0\\ 
x, & x\geq0
\end{matrix}\right.$$

처럼 함수가 두 개 이상의 구간에서 다르게 정의되면 조각적으로(piecewise) 정의되었다고 한다. 조각적으로 정의된 함수가 각 구간에서 연속이면 조각적으로 연속(piecewise continuous)이라고 한다. 헤비사이드함수와 절대값함수는 모두 족각적으로 연속인 함수이다. 조각적으로 연속인 함수는 각 구간의 끝점에서 연속이면 연속함수가 된다. 예를 들어 절대값함수는 

$$\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=0=f(0)$$

이므로 연속함수이다. 그러나 헤비사이드함수는 $x=0$에서 연속이 아니므로 연속함수가 아니다.

중간값 정리

연속함수 $y=f(x)$의 그래프를 그려 보면 끊어짐이나 구멍이 없이 연결되어 있다. 이러한 관찰에 의하여 다음 사실을 알 수 가 있다.

중간값 정리

중간값 정리를 기하학적으로 보면 $r$이 $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 값이라면 직선 $y=r$과 $y=f(x)$의 그래프는 적어도 한 점에서 만나는 것을 의미한다.

중간값

이러한 사실을 이용하면 중간값 정리를 이용하여 방정식의 해가 존재하는 구간을 구할 수 있다. 만약 연속함수 $f$에 대하여 $f(a)\cdot f(b)<0$이면 $f(a)$와 $f(b)$의 부호가 다르므로 $f(c)=0$인 $c$가 구간 $(a,b)$에 적어도 하나 존재한다. 다시 말하면, 

$$f(a)\cdot f(b) <0$$

이면 방정식 $f(x)=0$의 해가 $a$와 $b$사이에 적어도 하나 존재한다.

최대값·최소값 정리

함수를 다룰 때 가장 중요한 주제 중의 하나는 최대값과 최소값을 구하는 것이다. 정의역 $D$에서 정의된 함수 $y=f(x)$는 모든 $x\in D$에 대하여

$$f(x)\geq f(c)$$

인 $c\in D$가 존재하면 $x=c$에서 최소값(minimum value)을 갖는다고 한다. 마찬가지로 모든 $x\in D$에 대하여

$$f(x)\leq f(c)$$

인 $x\in D$가 존재하면 $x=c$에서 최대값(maximum value)을 갖는다고 한다. 최대값, 최소값을 구하는 기본적인 방법은 미분계수를 사용하며 다음 장에서 다루기로 하고 연속함수에 대한 다음 결과로 이 절을 마무리하기로 한다.

최대값 최소값 정리