2-3 함수의 극한

3절 함수의 극한

함수 $y=f(x)=x^2$의 값은 $x$가 어떤 방법으로 2에 가까워지더라도 항상 4에 가까워진다. 이때 $f(x)$가 가까워지는 값 4를 $x$가 2로 갈 때 $f$의 극한값(limit)이라고 하고 다음과 같이 나타낸다.

$$\lim_{x\rightarrow 2}x^2=4$$

함수의 극한은 다음과 같이 수열의 극한을 이용하여 정의할 수 있다. $a$로 수렴하는 임의의 수열 $(x_n)(x_n\neq a)$에 대하여( $x$가 어떤 방법으로 $a$에 가까워지더라도)

$$y_n=f(x_n)\rightarrow L$$

이면($f(x)$가 항상 $L$에 가까워지면) $x$가 $a$로 갈 때 $f(x)$는 $L$로 수렴한다(converge)고 한다.

함수의 극한값

극한법칙

극한법칙

상수 a와 c에 대하여

$$\lim_{x\rightarrow a}c=c,\qquad lim_{x\rightarrow a}x=a$$

이다. 이 극한값과 $f(x)=g(x)=x$로 놓고 세 번째 성질을 반복하여 이용하면

$$\lim_{x\rightarrow a}x^n=a^n$$

임을 알 수 있다. 다시 이 성빌과 첫 번째 성질, 두 번째 성질을 이용하면 다항식 $f(x)$에 대하여

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$$

이 성립한다. 마지막으로 유리함수 $Q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$에 대하여 $lim_{x\rightarrow a}g(x)\neq0$이면

$$\lim_{x\rightarrow a}Q(x)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}=Q(a)$$

이다.

다항식과 유리함수의 극한값

무한대에서의 극한값

$y=\frac{a}{x}$의 그래프는 $a>0$일 때와 $a<0$일 때 각각 다음과 같다.

반비례 그래프

$x\rightarrow \infty$ 일 때 $\frac{a}{x}$는 0에 가까워진다. 이때

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{a}{x}=0$$

이라고 나타내고 $x$가 양의 무한대로 갈 때 $\frac{a}{x}$는 0으로 수렴한다(converge)고 한다. 여기서 0을 $\frac{a}{x}$의 양의 무한대에서의 극한값(limit)이라고 한다. 마찬가지로 $ x\rightarrow -\infty$ 일 때 $\frac{a}{x}$는 0에 가까워지는데 이런 경우

$$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{a}{x}=0$$

이라고 나타내고 음의 무한대에서 극한값은 0이라고 한다. 일반적으로 $x\rightarrow \pm \infty$일 때의 함수 $y=f(x)$의 극한값은 다음과 같이 정의한다.

무한대에서의 극한값

분자가 상수이고 양의 무한대에서 분모가 양, 또는 음의 무한대 값을 가진다고 하자. 그러면 그 함수의 양의 무한대에서 극한값은 0이다. 다시 말해서 $g(x)=\frac{c}{f(x)}이고 $$\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = \infty$ 이면

$$\lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{c}{f(x)}=0$$

이다. 이러한 성질은 다음과 같이 간단히 나타내기도 한다.

$$\frac{c}{\infty}=0$$

수평점근선

$f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$의 그래프는 $x$가 커지면 직선 $y=2$의 그래프와 아주 가까워진다. 이런 경우 직선 $y=2$를 $y=f(x)$의 수평점근선(horizontal asymptote)이라고 한다. 일반적으로 수평점근선은 $x$의 무한대에서의 극한값을 구하면 찾을 수 있다.

수평 점근선

무한대에서의 극한값 구하기

함수 $\frac{f(x)}{g(x)}$의 무한대에서의 극한값은 분모의 극한값이 0이 아닌 유한한 값을 갖도록 변형하여 구한다. 특히, 유리함수의 무한대에서의 극한값은 분자와 분모를 분모의 최대차수로 나누면 구하여진다.

두 다항함수

$$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0,\quad g(x)=b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0$$

에 대하여

$$Q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$

라고 하자. 분자, 분모를 $ x^m $으로 나눈 후 계산하면 다음 결과를 얻는다.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}Q(x)= \left\{\begin{matrix}
0, & n<m\\
\frac{a_n}{b_n}, &n=m \\
\pm\infty, &n>m
\end{matrix}\right.\\$$

유리함수가 아닌 일반적인 분수함수의 경우도 분모의 극한값이 0이 아닌 유한한 극한값을 갖도록 변형하여 계산한다.