1-5 역행렬과 선형방정식계

5절 역행렬과 선형방정식계

0이 아닌 실수 a에 대하여 다음 성질을 만족하는 곱셈에 대한 역원 b가 존재한다.

$$ab=ba=1$$

행렬의 곱셈에 대한 항등원은 $\mathbf{I}_n$이다. 다시 말해서, $m\times n$행렬 A에 대하여

$$\mathbf{I_nA=AI_n=A}$$

이 성립한다. 그렇다면 행렬 A에 대하여 곱셈에 대한 역원이 존재할까?

$$\mathbf{AB=BA=I}_n\qquad\qquad(1.10)$$

이 성립하는 B가 존재하는가? 만약 이런 성질을 갖는 행렬 B가 존재하면 A는 가역(invertible)라고 하고 B를 A의 역행렬(inverse matrix)이라고 한다. 식(1.10)이 성립하려면 A,B의 크기는 모두 $n \times n$이어야 한다. 지금부터 이 절에서 다루는 모든 행렬은 정방행렬임을 가정한다.

역행렬

2 by 2 행렬의 역행렬

역행렬의 성질

역행렬을 정의하는 식 (1.10)에서 A와 B의 역할이 똑같다. 따라서 A는 B의 역행렬이다. 그러므로

$$\mathbf{A=B^{-1}=(A^{-1})^{-1}}$$

이다. A가 가역일 때 $\mathbf{B=A^{-1}}$이라고 하자. 그러면

$$\mathbf{AB=BA=I}_n$$

이고 $I_n^t=I_n$이므로

$$\mathbf{B^tA^t=(AB)^t=I_n^t=I_n}\\ \mathbf{A^tB^t=(BA)^t=I_n^t=I_n}$$

이다. 따라서 $A^t$는 가역이고 역행렬은 유일하므로

$$\mathbf{(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$$

이다.

역행렬의 성질

선형방정식계

다음과 같은 방정식을 n 개의 변수 $x_1,x_2,\cdots,x_n$의 선형방정식(linear equation)이라고 한다. 

$$c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n=d\qquad\qquad (1.11)$$

식(1.11)에

$$x_1=s_1,x_2=s_2,\cdots,x_n=s_n$$

을 대입했을 때 등식이 성립하면 벡터 $\begin{pmatrix}
s_1\\ 
\vdots\\ 
s_n
\end{pmatrix}$을 식(1.11)의 해(solution)라고 한다. n=2이면 해집합은 평면에서 직선, n=3이면 공간에서 평면의 집합이 된다.

같은 변수들의 선형방정식이 유한개 모여 있는 것을 선형방정식계(sustem of linear equations), 또는 간단히 선형계(linear system)라고 한다. 일반적으로 n개의 변수를 갖는 선형방정식계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{matrix} 
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1\\  
\vdots&\vdots\\  
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=b_m
\end{matrix} \qquad (1.12)
$$

여기서 계수들로 이루어진 행렬

$$A=\begin{pmatrix} 
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\  
\vdots&&\vdots\\  
a_{m1}&\cdots&a_{mn}
\end{pmatrix} $$

을 주어진 선형계의 계수행렬(coefficient matrix)이라고 한다. 상수벡터를 $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}
b_1\\ 
\vdots\\ 
b_m
\end{pmatrix} $라고 하면 선형계 (1.12)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\mathbf{Ax-b}$$

이렇게 선형방정식계를 행렬을 이용하여 나타낸 것을 행렬방정식(matrix equation)이라고 한다.

선형계와 역행렬

$n\times n$행렬 A에 대하여 행렬방정식

$$\mathbf{Ax=b}$$

는 n개의 변수를 가진 n개의 선형방정식을 갖는 선형계를 의미한다. A가 가역이면 선형계 위의 식 양변에 $A^{-1}$을 곱하여

$$\mathbf{A^{-1}(AX)=A^{-1}b}\quad \Rightarrow \quad \mathbf{(A^{-1}A)x=I_nx=x=A^{-1}b}$$

와 같이 유일한 해를 구할 수 있다.

선형계와 역행렬