1-2 벡터의 내적

제 2 절 벡터의 내적

지금까지 우리는 두 벡터의 합과 벡터의 상수곱을 살펴 보았다. 두 벡타의 합이나 벡터의 상수곱은 성분별로 계산할 수 있었고 따라서 실수에서의 연산의 성질이 대부분 성립하였다. 그렇다면 벡터와 벡터의 곱을 정의하는 것은 가능한가? 그리고 그 정의가 어떤 의미를 갖는가？ 벡터와 벡터의 곱은 두 가지 형태로 정의된다. 하나는 내적(inner product)이라 불리는 것이고 다른 하나는 외적(outer product)이라 불리는 것이다. 우선 내적에 대하여 알아 보기로 한다.

벡터의 내적

두 벡터 a = (ai,a2,a3), b = (b1,b2,b3) 에 대하여 a 와 b 의 내적은 a·b 로 나타내고

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

로 정의한다. 두 벡터의 내적의 결과는 스칼라로 주어지므로 내적을 scalar product 라고 부르기도 한다. 일반적으로 n벡터에 대하여 내적의 정의는 다음과 같이 자연스럽게 확장 할 수 있다.

$$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\cdot (b_1,b_2,\cdots ,b_n)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$$

서로 다른 표준 기저 벡터끼리의 내적은 모두 0 이 됨을 알 수 있다.

$$\mathbf{i}\cdot \mathbf{j}=0,\mathbf{i}\cdot \mathbf{k}=0,\mathbf{j}\cdot \mathbf{k}=0$$

내적은 실수끼리의 곱에서 성립하는 다음과 같은 성질들이 성립한다.

내적의 성질

두 벡터의 사잇각

두 벡터의 내적은 두 벡터 사이의 낀 각 $\theta$를 이용하여 나타낼 수도 있다. 평면, 또는 공간의 두 벡터 a,b 가 시점이 일치하도록 놓았다고 하자. 두 벡터의 사잇각(angle between two vectors)은 a, b 가 이루는 각 중에서 $0\le \theta \le \pi$인 각으로 정의한다. 만약 두 벡터가 평행이라면 $\theta =0$ 또는 $\theta =\pi$ 이다.

벡터 사잇각

두 벡터 a,b 가 이루는 각도가 0 일 때. 두 벡터의 내적(inner product) a · b 은

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert cos\theta (1.2)$$

을 만족한다. 이 성질에 의하면 영벡터가 아닌 두 벡터가 수직일 필요충분조건은

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$$

이다. 내적의 이 성질은 코사인의 제 2 법칙을 이용하여 증명할 수 있다. a =0 또는 b=0 이면 식 (1.2) 가 성립하는 것은 당연하므로 a ≠ 0,b ≠ 0 라고 하자. 삼각형 OAB에  대하여 코사인의 제 2 법칙을 적용하면

$${\left|AB\right|}^2={\left|OA\right|}^2+{\left|OB\right|}^2-2\left|OA\right|\left|OB\right|cos\theta (1.3)$$

이 성립한다.

벡터 내적

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a} \\ \left|AB\right|=\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\Vert \mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}\Vert \\ {\Vert \mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}\Vert }^2={\Vert a\Vert }^2+{\Vert b\Vert }^2-2\Vert a\Vert \Vert b\Vert cos\theta (1.4) \end{gathered}$$

가 된다. 내적의 성질에 의하면

$$\begin{gathered} {\Vert \mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}\Vert }^2=(\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a})\cdot (\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}) \\ =b\cdot b-b\cdot a-a\cdot b+a\cdot a \\ ={\Vert b\Vert }^2-2a\cdot b+{\Vert a\Vert }^2 \end{gathered}$$

이므로 식 (1.4) 는

$${\Vert b\Vert }^2-2a\cdot b+{\Vert a\Vert }^2={\Vert \mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}\Vert }^2={\Vert a\Vert }^2+{\Vert b\Vert }^2-2\Vert a\Vert \Vert b\Vert cos\theta$$

이 된다. 이를 정리하면

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert cos\theta$$

을 얻는다. 이 식에서 a 와 b 가 0이 아니면

$$cos\theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert }$$

임을 알 수 있다. 두 벡터 a와 b의 사잇각을 $\theta$라고 하면 위의 식을 통해서 알 수 있다.

내적과 사잇각

수직인 벡터

영벡터가 아닌 두 벡터 a, b의 사잇각이 90도 이면 두 벡터는 수직(perpendicular)이라고 하고 

$$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$$

로 나타낸다. 따라서 위의 결과는 영벡터가 아닌 두 벡터가 수직인 것과 내적이 0 인 것이 동치임을 설명해 준다. $\theta$가 0과 90도 사이이면 cos값이 양수이므로 내적도 양수이다. 반면 $\theta$가 90도와 180도 사이이면 cos값이 음수이므로 내적도 음수이다.

벡터의 위치관계

코시-슈바르쯔 부등식

두 벡터 a와 b사이의 각을 $\theta$라고 할 때 $|cos(\theta )|\le 1$이므로

$$\left|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\right|=\Vert a\Vert \Vert b\Vert \left|cos\theta \right|\le \Vert a\Vert \Vert b\Vert$$

이 성립한다. 등식은 두 벡터가 평행일 때, 다시 말해서 $\theta =0$ 또는 90도 일 때 성립한다. 이 부등식을 코시-슈바르쯔 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)이라고 한다. 이 부등식은 일반적으로 n 벡터에 대하여도 성립한다. n 벡터에 대한 코시-슈바르쯔 정리를 성분을 이용하여 나타내면 다음과 같다. 

$$(a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n{)}^2\le (a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)$$

이다.

코시-슈바르쯔 부등식

삼각부등식

코시-슈바르쯔의 부등식에 의하면

$$\begin{gathered} {\Vert \mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\Vert }^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+2a\cdot b+b\cdot b \\ \le {\Vert a\Vert }^2+2\Vert a\Vert \Vert b\Vert +{\Vert b\Vert }^2=(\Vert a\Vert +\Vert b\Vert {)}^2 \end{gathered}$$

이 성립한다. 이때 등식은 

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\Vert a\Vert \Vert b\Vert$$

일 때, 즉, 두 벡터가 같은 방향일 때 성립한다. 이 결과를 삼각부등식(triangle inequality)이라고 한다.

삼각부등식

정사영

벡터를 다루는 많은 문제에서 벡터b를 두개의 벡터의 합으로 나타낸다. 한 벡터는 특정한 한 벡터 a와 평행하고 다른 한 벡터는 a와 수직인 벡터의 합으로 나타낸다. 두 벡터 a와 b가 시점이 일치하도록 놓였다면(시점을 P라고 하자) b의 종점에서 벡터 a를 연장한 직선 위로 내린 수선의 발을 종점으로 하는 벡터를 $v_1$이라고 하자.

벡터 정사영

이때 a와 평행한 벡터 $v_1$을 a에 대한 b의 정사영(orthogonal projection)이라고 하고 

$$pro{j}_{a}b$$

로 나타낸다. $v_2=b-v_1$으로 놓으면 정의로부터 $v_2$는 a와 수직임을 알 수 있다. 따라서 b는 

$$\mathbf{b}=pro{j}_{a}b+(b-pro{j}_{a}b)$$

이제 proj(b)는 a와 평행하므로 상수 k에 대하여

$$pro{j}_a\mathbf{b}=k\mathbf{a}$$

로 쓸 수 있다. 따라서 a와 수직인 벡터 $v_2$에 대하여

$$b=ka+v_2$$

으로 분해가 된다. 양변을 a와 내적을 취해 주면 a 와 $v_2$는 수직이므로

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=k\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}+\mathbf{a}\cdot {\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}=k{\Vert \mathbf{a}\Vert }^2$$

이 된다. 따라서

$$k=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{{\Vert \mathbf{a}\Vert }^2}$$

이고

$$pro{j}_a\mathbf{b}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{{\Vert \mathbf{a}\Vert }^2}\mathbf{a}$$

이다.

정사영

점과 직선의 거리