1-3 직선과 평면의 방정식

3절 직선과 평면의 방정식

평면에서 한점 $P_0(x_0,y_0)$ 을 지나고 직선의 기울기가 m인 직선의 방정식은

$$\frac{y-y_0}{x-x_0}=m\Rightarrow y=m(x-x_0)+y_0$$

으로 구할 수 있다.

직선의 방정식

공간에서의 직선의 방정식도 직선 위의 한 점과 직선의 방향을 알면 구할 수 있다. 3차원 공간에서의 방향은 벡터로 표현할 수 있으므로 직선과 평행한 벡터를 $v=(a,b,c)$ 라고 하자. 직선 위의 한 점 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 을 자나고 벡터 v와 평행한 직선 위의 임의의 점을 $P(x,y,z)$ 라고 하면 벡터 $\overrightarrow{P_{0}P}$ 는 v와 평행하므로

$$\overrightarrow{P_{0}P}=t\mathbf{v}(1.5)$$

인 실수 t가 존재한다.

$$\overrightarrow{OP}=\mathbf{r},\overrightarrow{O{P}_0}={\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}$$

이라고 하면 식 (1.5)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\mathbf{r}\mathbf{-}{\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}=t\mathbf{v}\to \mathbf{r}={\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}+t\mathbf{v}$$

이 식을 직선의 벡터방정식(vector equation)이라고 한다. 또한 식 (1.5)를 성분별로 나타내면

$$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=(ta,tb,tc)$$

이므로 직선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$x=x_0+at,y=y_0+bt,z=z_0+ct,(-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty })(1.6)$$

이 식을 직선의 매개변수방정식(parametric equation)이라고 한다. 또한 매개변수방정식에서 매개변수 t를 소거하여

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},(abc\ne 0)$$

로 나타낼 수도 있다. 이 방정식은 직선의 대칭방정식(symmetric equation)이라고 한다. 만약 a,b,c 중에서 0 이 있어도 매개방정식 (1.6)에서 매개변수를 소거하는 것이 가능하다.

직선의 방정식

꼬인 직선

평면에서 두 직선은 평행하지 않은 직선은 한 점에서 만난다. 그러나 공간에서의 두 직선은 평행하지 않아도 만나지 않는 경우가 생긴다. 이런 경우 두 직선은 꼬인 위치에 있다고 한다. 

평면의 벡터방정식

평면에서 직선의 방정식은 기울기와 한 점을 알면 구할 수가 있었다. 마찬가지로 공간에서 평면의 방정식은 평면의 방향과 한 점을 알면 구할 수 있다. 그러나 평면의 방향은 직선과는 달리 평면과 평행한 하나의 벡터로는 구할 수가 없으며 두 개의 벡터(서로 평행하지 않은), 또는 일직선 상에 있지 않은 세개의 점이 필요하다. 평행하지 않은 두 벡터 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}$ 과 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}$ 와 평행이고 점 ${\mathbf{P}}_{\mathbf{0}}$을 지나는 평면을 $\mathbf{W}$ 라고 하자. $\mathbf{W}$의 임의의 점을 $\mathbf{P}$라고 하고${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}$과 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}$의 시점이 ${\mathbf{P}}_{\mathbf{0}}$이되도록 놓으면 적당한 실수 t,s에 대하여 $\overrightarrow{P{P}_0}$이 $t{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}$ 과 $s{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}$ 를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형의 대각선이 되도록 할 수 있다.

평면 벡터

따라서

$$\overrightarrow{P_{0}P}=t{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}+s{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}(1.7)$$

으로 나타낼 수 있다. 여기서

$$\overrightarrow{OP}=\mathbf{r},\overrightarrow{O{P}_0}={\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}$$

이라고 하면 식(1.7) 은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\mathbf{r}\mathbf{-}{\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}=t{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}+s{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\Rightarrow \mathbf{r}={\mathbf{r}}_{\mathbf{0}}+t{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}+s{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}$$

이 식을 평면의 벡터방정식(verctor equation)이라고 한다. 또한, ${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}=(a_1,b_1,c_1),{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}=(a_2,b_2,c_2)$ 일 때, 식(1.7)을 성분별로 나타내면

$$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)-(t{a}_1+s{a}_2,t{b}_1+s{b}_2,t{c}_1+s{c}_2)$$

이므로 평면의 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{gathered} x=x_0+t{a}_1+s{a}_2,y=y_0+t{b}_1+s{b}_2,z=z_0+t{c}_1+s{c}_2, \\ (-\mathrm{\infty }<t,s<\mathrm{\infty })(1.8) \end{gathered}$$

이 식을 평면의 매개변수방정식(parametric equation)이라고 한다.

평면의 방정식

법선 벡터를 이용한 평면의 방정식

평면과 평행인 두 벡터 대신 평면과 수직인 벡터를 안다면 역시 평면의 방정식을 구할 수 있다. 이때, 평면과 수직인 벡터를 평면의 법선벡터(normal vector)라고 한다. 이제 공간의 한 점 ${\mathbf{P}}_{\mathbf{0}}(x_0,y_0,z_0)$ 을 지나고 법선벡터가 n=(a,b,c) 인 평면의 방정식을 구해 보자. 평면의 임의의 점을 $P(x,y,z)$ 라고 하면

$$\overrightarrow{P_{0}P}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$$

은 평면에 포함되는 벡터이고 따라서 n과 수직이다.

평면 벡터

그러므로 평면 위의 임의의 점 $P(x,y,z)$ 에 대하여

$$\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{P_{0}P}=a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$

이 성립한다. 이 식을 평면의 일반방정식(general equation)이라고 한다.

평면 방정식

두 평면의 위치

각각의 법선벡터가 평행한 두 평면은 평행하다(parallel)고 한다. 평행한 두 평면은 일치하거나 만나지 않는다. 평행하지 않은 두 평면은 직선에서 만난다. 평행하지 않은 두 평면의 각은 각 평면의 법선벡터들의 사잇각으로 정의한다.

두 평면의 사잇각

점과 평면 사이의 거리

이제 평면에서 한 점과 직선 사이의 거리를 구한 것과 같은 방법으로 평면과 한 점 사이의 거리를 구할 수 있다. 공간의 한 점 ${\mathbf{P}}_{\mathbf{0}}=(x_0,y_0,z_0)$ 와 평면 $ax+by+cz+d=0$ 사이의 거리 D를 구해 보기로 하자.

평면의 임의의 점 $P_1(x_1,y_1,z_1)$에 대하여

$$\mathbf{b}=\overrightarrow{P_1{P}_0}=(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)$$

라고 하면 $D=\Vert \mathbf{b}\Vert \left|cos\theta \right|$가 된다. 따라서

$$D=\Vert \mathbf{b}\Vert \left|cos\theta \right|=\Vert \mathbf{b}\Vert \frac{\left|\mathbf{n}\cdot \mathbf{b}\right|}{\Vert \mathbf{n}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert }=\frac{\left|\mathbf{n}\cdot \mathbf{b}\right|}{\Vert \mathbf{n}\Vert }$$

이다.

평면과 점

$$\begin{gathered} \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_0}=a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)+c(z_0-z_1) \\ =a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0-(a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1) \end{gathered}$$

에서 $P_1(x_1,y_1,z_1)$ 은 평면의 점이므로

$$a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d=0\Rightarrow -(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0)=d$$

이고 $\Vert \mathbf{n}\Vert =\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ 이므로

$$D=\frac{\left|\mathbf{n}\cdot \mathbf{b}\right|}{\Vert \mathbf{n}\Vert }=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

이다.

점과 평면 사이 거리