1-4 행렬

4절 행렬

수를 직사각형모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬(matrix)이라고 한다. 다음은 행렬의 보기이다.

$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{2}& 0& -\sqrt{2}\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$$

행렬의 크기(size)는 행(row)의 수와 열(column)의 수를 곱셈기호를 이용하여 나타낸다. 예를 들어 위의 행렬들의 크기는 각각

$$2\times 2,1\times 4,3\times 1,2\times 3$$

이다. 두 번째 행렬처럼 $1\times m$ 행렬을 행벡터(row vector), 세 번째 행렬처럼 $n\times 1$행렬을 열벡터(column vector)라고 한다. 의미가 명확한 경우에는 행벡터, 열벡터 대신 단순히 벡터라고 부르기도 한다. 행렬 A의 i 번째 행, j 번째 열에 있는 원소를 $a_{ij}$로 나타내고 행렬 A의 (i,j) 항이라고 한다. $m\times n$행렬을 간단히 $(a_{ij})$, 크기를 강조하고 싶을 때는 $(a_{ij}{)}_{m\times n}$로 나타내기도 한다. 일반적인 $m\times n$ 행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

A의 $i$ 번째 행은 ${\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}(A)$로 나타내고 A의 $j$번째 열은 ${\mathbf{c}}_{\mathbf{j}}(A)$ 로 나타내기로 한다.

$${\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}(A)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\end{array}\right),{\mathbf{c}}_{\mathbf{j}}(A)=\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right)$$

따라서 행렬 A는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

$$A=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}(A)\\ {\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}(A)\\ ⋮\\ {\mathbf{r}}_{\mathbf{m}}(A)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}(A)& {\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}(A)& \cdots & {\mathbf{c}}_{\mathbf{n}}(A)\end{array}\right)$$

혼동의 우려가 없는 경우에는 행벡터는 단순히 ${\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}$, 열벡터는 ${\mathbf{c}}_{\mathbf{j}}$로나타내기로한다.

정방행렬과 대각행렬

행렬 A에서 m=n이면 A를 정방행렬(square matrix)이라고 한다. 항$a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}$을 정방행렬의 대각항(diagonal entry)이라고 한다. 대각항 이외의 모든 항이 0인 정방행렬을 대각행렬(diagonal matrix)이라고 한다. 대각항이 $d_1,d_2,\cdots ,d_n$인 대각행렬은 $D(d_1,d_2,\cdots ,d_n)$으로 나타낸다.

$$D(d_1,d_2,\cdots ,d_n)=\left(\begin{array}{cccc}{d}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& d_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & d_n\end{array}\right)$$

크기가 같은 두 행렬 A,B의 각 항이 모두 같으면 두 행렬은 같다고 한다. 다시 말해서 $m\times n$행렬 $A=(a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$에 대하여

$$a_{ij}=b_{ij},1\le i\le m,1\le j\le n$$

이면 두 행렬은 같다고 한다.

행렬의 합과 상수곱

크기가 같은 두 행렬 A,B에 대하여 행렬의 합 A+B는 두 행렬의 각 항을 더한 것을 항으로 갖는 행렬이다. 즉, $m\times n$행렬 $A=(a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$에 대하여

$$(a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij})$$

이다. 상수 c에 대하여 상수곱 cA는 각 항에 c를 곱한 것을 항으로 갖는 행렬이다.

$$c(a_{ij})=(c{a}_{ij})$$

(-1)A는 단순히 -A로 쓰기로 한다. 그러면 두 행렬의 차는 다음과 같이 정의한다.

$$\mathbf{A}\mathbf{-}\mathbf{B}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{B}\mathbf{)}$$

행렬의 모든 항이 0인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라고 하고 O로 나타낸다. 그러면 A와 같은 크기의 영행렬 O에 대하여

$$\mathbf{A}\mathbf{+}\mathbf{O}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{=}\mathbf{O}\mathbf{+}\mathbf{A}\mathbf{,}\mathbf{A}\mathbf{-}\mathbf{A}\mathbf{=}\mathbf{O}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{A}\mathbf{+}\mathbf{A}$$

이 성립한다. 다음 관계식이 성립하는 것은 쉽게 확인할 수 있다.

행렬의 성질

행렬의 곱

$m\times n$행렬 A와 $n\times k$ 행렬B의 곱은 $m\times k$행렬이고 AB로 나타낸다.

$$\underset{(m\times k)}{C}=\underset{(m\times n)}{A}\underset{(n\times k)}{B}$$

$C=AB=(c_{ij})$라고 하면 $c_{ij}$는 A의 $i$번째 행벡터가 ${\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}(A)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\end{array}\right)$, B의 $j$번째 열벡터가 ${\mathbf{c}}_{\mathbf{j}}(B)=\left(\begin{array}{c}{b}_{1j}\\ b_{2j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right)$일 때, 다음과 같이 정의한다.

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}$$

행렬곱의 정의로부터 다음 식이 성립하는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

$$A(cB)=c(AB),A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA$$

$m\times n$행렬 A와 $n\times k$행렬 B에 대하여 $m\ne k$이면 BA가 정의되지 않는다. 또한 $m=k$인 경우라도 일반적으로 행렬의 덧셈과는 다르게 행렬의 곱셈에 대하여는 교환법칙이 성립하지 않는다. 다시 말해서 일반적으로는 

$$\mathbf{AB}\ne \mathbf{BA}$$

이다. 행렬의 곱이 의미를 갖기 위해서는 첫 번째 행렬의 열과 두 번째 행렬의 행이 같아야 한다.

전치행렬

$m\times n$행렬 $A=(a_{ij})$에서 $(i,j)$항을 $(j,i)$ 항이 되도록 만든 행렬을 $A^t$로 나타내고 A의 전치행렬(transpose matrix)이라고 한다. $A^t$는 $n\times m$행렬이 된다. 다시 말해서 $A^t=(a_{ij}^t)$라고 하면

$$A^t=a_{ij}^t=a_{ji}$$

이다. 예를 들어

$${\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)}^t=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right),{\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right)}^t=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)$$

이다. 전치행렬 $A^t$의 $i$번째 행은 A의 $i$번째 열과 같다. 연산이 가능한 행렬 A,B에 대하여 다음의 성질들이 성립한다.

전치행렬 성질

정방행렬 A에 대하여 $A^t=A$이면 A를 대칭(symmetric)이라고 한다. 다시 말해서, $A=(a_{ij})$의 모든 $i,j$에 대하여

$$a_{ij}=a_{ji}$$

이면 A는 대칭이라고 한다. 정의에 의하면 모든 대칭행렬은 정방행렬이다.

열벡터 $\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right),\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)$에 대하여

$${\mathbf{u}}^{\mathbf{t}}\mathbf{v}=\left(\begin{array}{cccc}{u}_1& u_2& \cdots & u_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)=(u_1{v}_1+u_2{v}_2+\cdots +u_n{v}_n)=\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$$

이다. 따라서 n-벡터 $\mathbf{u,v}에 대하여 다음 식이 성립한다.

$${\mathbf{u}}^{\mathbf{tv}}=\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$$

행렬과 벡터의 곱

$m\times n$행렬 $A=(a_{ij})$ 와 n벡터 $b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$에 대하여 행렬곱 Ab는 $m\times 1$행렬, 즉, m벡터이다.

$$\text{Double subscripts: use braces to clarify}$$

따라서 행렬과 벡터의 곱은 행렬의 열벡터의 일차 결합(linear combination)으로 쓸 수 있다. 이때 일차결합의 계수는 열벡터의 항들이 된다.

일차결합을 이용한 표현은 일반적인 행렬곱에도 적용이 가능하다. $m\times n$행렬 A와 $n\times k$행렬 B의 곱 AB의 $j$번째 열벡터는 A와 $c_j(B)$의 곱이다.

$$c_j(AB)=A{c}_j(B)$$

따라서

$$\mathbf{AB}=A\left(\begin{array}{cccc}{c}_1(B)& c_2(B)& \cdots & c_k(B)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}A{c}_1(B)& A{c}_2(B)& \cdots & A{c}_k(B)\end{array}\right)$$

와 같이 나타낼 수 있다.

행렬과 벡터의 곱

단위행렬

$n\times n$행렬

$${\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$$

을 n차원 단위행렬(identity matrix)이라고 부른다. 단위 행렬의$i$ 번째 열벡터를 기본단위 벡터(elementary unit vector)라고 부르고 ${\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}$로 나타낸다. 그러면 모든 열벡터는 기본단위벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있다. 다시 말해서

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=a_1{e}_1+\cdots +a_n{e}_n$$

로 나타낼 수 있다. 따라서 $m\times n$행렬 A에 대하여

$$\text{Double subscripts: use braces to clarify}$$

이다. 즉, 

$${\mathbf{I}}_{\mathbf{mA}}\mathbf{=}\mathbf{A}$$

가 성립한다. 또한 

$${\mathbf{AI}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{A}$$

가 성립한다. 특히, $m=n$이면

$${\mathbf{I}}_{\mathbf{nA}}\mathbf{=}{\mathbf{AI}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{A}$$

이다. 그러므로 ${\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$은 행렬곱에 대한 항등원이다.

$$\mathbf{(}\mathbf{AB}\mathbf{)}\mathbf{C}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{(}\mathbf{BC}\mathbf{)}$$

가 성립한다. 다시 말해서 행렬곱에 대하여 결합법칙이 성립한다.

지금까지 살펴본 행렬곱에 대한 성질들을 정리하면 다음과 같다.

행렬곱의 성질