1-4 행렬

4절 행렬

수를 직사각형모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬(matrix)이라고 한다. 다음은 행렬의 보기이다.

$$\begin{pmatrix}
1 & 1\\ 
2 & 3
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
1\\ 
2\\ 
-1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
\sqrt{2} & 0 &-\sqrt{2} \\ 
1 & 0 & 2
\end{pmatrix}$$

행렬의 크기(size)는 행(row)의 수와 열(column)의 수를 곱셈기호를 이용하여 나타낸다. 예를 들어 위의 행렬들의 크기는 각각

$$2\times2,\quad 1\times4,\quad 3\times 1,\quad 2\times3$$

이다. 두 번째 행렬처럼 $1\times m$ 행렬을 행벡터(row vector), 세 번째 행렬처럼 $n\times 1$행렬을 열벡터(column vector)라고 한다. 의미가 명확한 경우에는 행벡터, 열벡터 대신 단순히 벡터라고 부르기도 한다. 행렬 A의 i 번째 행, j 번째 열에 있는 원소를 $a_{ij}$로 나타내고 행렬 A의 (i,j) 항이라고 한다. $m \times n$행렬을 간단히 $(a_{ij})$, 크기를 강조하고 싶을 때는 $(a_{ij})_{m \times n}$로 나타내기도 한다. 일반적인 $m \times n$ 행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ 
 \vdots & \vdots & \ddots  &\vdots \\ 
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}$$

A의 $i$ 번째 행은 $\mathbf{r_i}(A)$로 나타내고 A의 $j$번째 열은 $\mathbf{c_j}(A)$ 로 나타내기로 한다.

$$\mathbf{r_i}(A)=\begin{pmatrix}
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}
\end{pmatrix},\quad \mathbf{c_j}(A)=\begin{pmatrix}
a_{1j}  \\ \vdots \\a_{mj}
\end{pmatrix}$$

따라서 행렬 A는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

$$A=\begin{pmatrix}
\mathbf{r_1}(A)\\ 
\mathbf{r_2}(A)\\ 
\vdots\\ 
\mathbf{r_m}(A)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mathbf{c_1}(A) & \mathbf{c_2}(A) & \cdots & \mathbf{c_n}(A) \end{pmatrix}$$

혼동의 우려가 없는 경우에는 행벡터는 단순히 $\mathbf{r_i}$, 열벡터는 $\mathbf{c_j}$로나타내기로한다.

정방행렬과 대각행렬

행렬 A에서 m=n이면 A를 정방행렬(square matrix)이라고 한다. 항$a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}$을 정방행렬의 대각항(diagonal entry)이라고 한다. 대각항 이외의 모든 항이 0인 정방행렬을 대각행렬(diagonal matrix)이라고 한다. 대각항이 $d_1,d_2,\cdots,d_n$인 대각행렬은 $D(d_1,d_2,\cdots,d_n)$으로 나타낸다.

$$D(d_1,d_2,\cdots,d_n)=\begin{pmatrix} 
d_1 & 0 & \cdots &0 \\  
0 & d_2 & \cdots & 0\\  
 \vdots & \vdots & \ddots  &\vdots \\  
0 & 0 & \cdots & d_n 
\end{pmatrix}$$

크기가 같은 두 행렬 A,B의 각 항이 모두 같으면 두 행렬은 같다고 한다. 다시 말해서 $m \times n$행렬 $A=(a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$에 대하여

$$a_{ij}=b_{ij},\quad 1\leq i\leq m, 1\leq j \leq n$$

이면 두 행렬은 같다고 한다.

행렬의 합과 상수곱

크기가 같은 두 행렬 A,B에 대하여 행렬의 합 A+B는 두 행렬의 각 항을 더한 것을 항으로 갖는 행렬이다. 즉, $m \times n$행렬 $A=(a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$에 대하여

$$(a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij})$$

이다. 상수 c에 대하여 상수곱 cA는 각 항에 c를 곱한 것을 항으로 갖는 행렬이다.

$$c(a_{ij})=(ca_{ij})$$

(-1)A는 단순히 -A로 쓰기로 한다. 그러면 두 행렬의 차는 다음과 같이 정의한다.

$$\mathbf{A-B=A+(-B)}$$

행렬의 모든 항이 0인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라고 하고 O로 나타낸다. 그러면 A와 같은 크기의 영행렬 O에 대하여

$$\mathbf{A+O=A=O+A, \quad A-A=O=-A+A}$$

이 성립한다. 다음 관계식이 성립하는 것은 쉽게 확인할 수 있다.

행렬의 성질

행렬의 곱

$m \times n$행렬 A와 $n \times k$ 행렬B의 곱은 $m\times k$행렬이고 AB로 나타낸다.

$$\underset{(m\times k)}{C}=\underset{(m\times n)}{A}\underset{(n\times k)}{B}$$

$C=AB=(c_{ij})$라고 하면 $c_{ij}$는 A의 $i$번째 행벡터가 $\mathbf{r_i}(A)=\begin{pmatrix} 
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} 
\end{pmatrix}$, B의 $j$번째 열벡터가 $\mathbf{c_j}(B)=\begin{pmatrix} 
b_{1j}  \\ b_{2j}\\ \vdots \\a_{mj} 
\end{pmatrix}$일 때, 다음과 같이 정의한다.

$$c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}$$

행렬곱의 정의로부터 다음 식이 성립하는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

$$A(cB)=c(AB),\quad A(B+C)=AB+AC,\quad (B+C)A=BA+CA$$

$m\times n$행렬 A와 $n\times k$행렬 B에 대하여 $m\neq k$이면 BA가 정의되지 않는다. 또한 $ m=k$인 경우라도 일반적으로 행렬의 덧셈과는 다르게 행렬의 곱셈에 대하여는 교환법칙이 성립하지 않는다. 다시 말해서 일반적으로는 

$$\mathbf{AB\neq BA}$$

이다. 행렬의 곱이 의미를 갖기 위해서는 첫 번째 행렬의 열과 두 번째 행렬의 행이 같아야 한다.

전치행렬

$m \times n$행렬 $A=(a_{ij})$에서 $(i,j)$항을 $(j,i)$ 항이 되도록 만든 행렬을 $A^t$로 나타내고 A의 전치행렬(transpose matrix)이라고 한다. $A^t$는 $n\times m$행렬이 된다. 다시 말해서 $A^t=(a_{ij}^t)$라고 하면

$$A^t=a_{ij}^t=a_{ji}$$

이다. 예를 들어

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 
4 & 5 & 6 
\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix}
1 & 4\\ 
2 & 5\\ 
3 & 6
\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_n
\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix}
a_1\\ 
a_2\\ 
\vdots\\ 
a_n
\end{pmatrix}$$

이다. 전치행렬 $A^t$의 $i$번째 행은 A의 $i$번째 열과 같다. 연산이 가능한 행렬 A,B에 대하여 다음의 성질들이 성립한다.

전치행렬 성질

정방행렬 A에 대하여 $A^t=A$이면 A를 대칭(symmetric)이라고 한다. 다시 말해서, $A=(a_{ij})$의 모든 $i,j$에 대하여

$$a_{ij}=a_{ji}$$

이면 A는 대칭이라고 한다. 정의에 의하면 모든 대칭행렬은 정방행렬이다.

열벡터 $\mathbf{u}=\begin{pmatrix}
u_1\\ 
u_2\\ 
\vdots\\ 
u_n
\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}
v_1\\ 
v_2\\ 
\vdots\\ 
v_n
\end{pmatrix}$에 대하여

$$\mathbf{u^t v}=\begin{pmatrix}
u_1& 
u_2& 
\cdots& 
u_n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
v_1\\ 
v_2\\ 
\vdots\\ 
v_n
\end{pmatrix}=(u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n)=\mathbf{u \cdot v}$$

이다. 따라서 n-벡터 $\mathbf{u,v}에 대하여 다음 식이 성립한다.

$$\mathbf{u^tv}=\mathbf{u\cdot v}$$

행렬과 벡터의 곱

$m \times n$행렬 $A=(a_{ij})$ 와 n벡터 $b=\begin{pmatrix}
b_1\\ 
\vdots\\ 
b_n
\end{pmatrix}$에 대하여 행렬곱 Ab는 $m \times 1$행렬, 즉, m벡터이다.

$$\mathbf{Ab}=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots &a_{1n} \\ 
\vdots &  &\vdots \\ 
a_{m1} &\cdots  & a_{mn}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
b_1\\ 
\vdots\\ 
b_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mathbf{r_1(A)b}\\ 
\vdots\\ 
\mathbf{r_m(A)b}
\end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix}
a_{11}b_1+a_{12}b_2+\cdots+a_{1n}b_n\\ 
\vdots\\ 
a_{m1}b_1+a_{m2}b_2+cdots+a_{mn}b_n
\end{pmatrix}\\
=b_1\begin{pmatrix}
a_{11}\\ 
\vdots\\ 
a_{m1}
\end{pmatrix}+b_2\begin{pmatrix}
a_{12}\\ 
\vdots\\ 
a_{m2}
\end{pmatrix}+\cdots+b_n\begin{pmatrix}
a_{1n}\\ 
\vdots\\ 
a_{mn}
\end{pmatrix}\\=\mathbf{b_1c_1(A)}+\mathbf{b_2c_2(A)}+\cdots+\mathbf{b_nc_n(A)}$$

따라서 행렬과 벡터의 곱은 행렬의 열벡터의 일차 결합(linear combination)으로 쓸 수 있다. 이때 일차결합의 계수는 열벡터의 항들이 된다.

일차결합을 이용한 표현은 일반적인 행렬곱에도 적용이 가능하다. $m \times n$행렬 A와 $n \times k$행렬 B의 곱 AB의 $j$번째 열벡터는 A와 $c_j(B)$의 곱이다.

$$c_j(AB)=Ac_j(B)$$

따라서

$$\mathbf{AB}=A\begin{pmatrix}
c_1(B) &c_2(B)  &\cdots  & c_k(B)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
Ac_1(B) &Ac_2(B)  &\cdots  &A c_k(B)
\end{pmatrix}$$

와 같이 나타낼 수 있다.

행렬과 벡터의 곱

단위행렬

$n \times n$행렬

$$\mathbf{I_n}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots &0 \\ 
0 & 1 & \cdots & 0\\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}$$

을 n차원 단위행렬(identity matrix)이라고 부른다. 단위 행렬의$i$ 번째 열벡터를 기본단위 벡터(elementary unit vector)라고 부르고 $\mathbf{e_i}$로 나타낸다. 그러면 모든 열벡터는 기본단위벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있다. 다시 말해서

$$\begin{pmatrix}
a_1\\ 
\vdots\\ 
a_n
\end{pmatrix}=a_1e_1+\cdots+a_ne_n$$

로 나타낼 수 있다. 따라서 $m \times n$행렬 A에 대하여

$$\mathbf{c_i(I_mA)}=\mathbf{I_mc_i(A)}=a_{1i}e_1+\cdots+a_{mi}e_m=\mathbf{c_i(A)}$$

이다. 즉, 

$$\mathbf{I_mA=A}$$

가 성립한다. 또한 

$$\mathbf{AI_n=A}$$

가 성립한다. 특히, $m=n$이면

$$\mathbf{I_nA=AI_n=A}$$

이다. 그러므로 $\mathbf{I_n}$은 행렬곱에 대한 항등원이다.

$$\mathbf{(AB)C=A(BC)}$$

가 성립한다. 다시 말해서 행렬곱에 대하여 결합법칙이 성립한다.

지금까지 살펴본 행렬곱에 대한 성질들을 정리하면 다음과 같다.

행렬곱의 성질