2-2 급수

수열 ($a_n$)의 각 항을 모두 더한 것을

$$a_1+a_2+a_3+....$$

로 나타내고 무한급수(infinite series), 또는 단순히 급수(series)라고 부른다. 급수를 간단히 다음과 같이 나타내기도 한다.

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n,\quad or \quad \sum a_n$$

부분합

다음과 같이 정의된 수열 ($s_n$)을 무한급수 $\sum a_n$의 부분합(partial sum)의 수열이라고 한다.

$$\begin{align*} s_1=&a_1 \\  s_2=&a_1+a_2 \\ &\vdots\\ s_n = & a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\\ & \vdots  \end{align*}$$

부분합의 수열 ($s_n$)이 극한값 s로 수렴하면 무한급수는 수렴한다고 하고 s를 무한급수의 합(sum of series)이라고 부른다. 즉, 

$$\begin{align*} s=& \lim_{n\rightarrow\infty}s_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\\
=& a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots \end{align*}$$

($s_n$)이 발산하면 무한급수도 발산한다고 한다. 

등비급수

무한급수 중 가장 중요한 등비급수 또는 기하급수(geometric series)이다. 초항이 $a(\neq 0)$이고 공비가 r인 등비급수는 다음과 같이 정의된다.

$$a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots=\sum_{n=1}^{n}ar^{n-1}$$

r=1이면 부분합은 $ n \rightarrow \infty $일 때,

$$s_n=a+a+\cdots+a=na \rightarrow \left\{\begin{matrix}
\infty, & a>0\\ 
-\infty, &a<0 
\end{matrix}\right.$$

이므로 등비급수는 발산한다. 한편 $r\neq1$이면

$$\begin{align*} s_n=& a+ ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}\\
rs_n=&\qquad ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar_n \end{align*}$$

에서

$$s_n-rs_n=a-ar^n\quad \Rightarrow\quad s_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

이다. $-1<r<1$이면 $r^n\rightarrow 0$이므로$(n\rightarrow\infty)$

$$\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}s_n=& \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}\\
=&\frac{a}{1-r}-\frac{a}{1-r}\lim_{n\rightarrow\infty}r^n=\frac{a}{1-r}\end{align*}$$

이다. $r>1$이거나 $r\leq-1$이면 $r^n$은 발산하므로 등비급수도 발산한다.

등비급수의 합

순환소수

순환하는 무한소수는 무한급수의 합으로 쓸 수 있다. 예를 들어

$$\begin{align*}0.\dot{3}=&0.3333\cdots=0.3+0.03+0.003+\cdots\\ =& \sum_{n=1}^{\infty}0.3(0.1)^{n-1}\\1.1\dot{2}\dot{1}=&1.1+0.021+0.00021+\cdots\\ =&1.1+ \sum_{n=1}^{\infty}0.021(0.01)^{n-1}\end{align*}$$

따라서 순환하는 무한소수는 항상 분수로 표현할 수 있다.

$$\begin{align*}0.\dot{3}=&\frac{0.3}{1-0.3}=\frac{1}{3}\\1.1\dot{2}\dot{1}=&1.1+\frac{0.021}{1-0.01}=\frac{363}{330}+\frac{7}{330}=\frac{37}{33}\end{align*}$$

P진법

각자리 수가 p의 거듭제곱을 나타내는 표시법을 p진법이라 한다. 십진법과 구분하기 위하여 수 밑에 작게 (p)를 적어준다.

P 진법 표시

수렴하는 급수의 기본 성질

무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 s로 수렴한다고 하자. 그러면

$$a_n=s_n-s_{n-1}$$

이므로

$$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\lim_{n\rightarrow\infty} s_n-\lim_{n\rightarrow\infty} s_{n-1}=s-s=0$$

이다. 따라서 $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n$이 존재하지 않거나 $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n \neq0$이면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$은 발산한다.

일반항 판정법

무한급수의 합은 수열의 부분합의 극한으로 정의되므로 수열에 대하여 성립한 많은 성질들이 무한급수에 대하여도 성립한다.

수렴하는 급수의 기본 성질