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생활공학/대학기초수학

2-3 함수의 극한

by Eric87 2020. 11. 19.
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3절 함수의 극한

함수 y=f(x)=x2의 값은 x가 어떤 방법으로 2에 가까워지더라도 항상 4에 가까워진다. 이때 f(x)가 가까워지는 값 4를 x가 2로 갈 때 f의 극한값(limit)이라고 하고 다음과 같이 나타낸다.

limx2x2=4

함수의 극한은 다음과 같이 수열의 극한을 이용하여 정의할 수 있다. a로 수렴하는 임의의 수열 (xn)(xna)에 대하여( x가 어떤 방법으로 a에 가까워지더라도)

yn=f(xn)L

이면(f(x)가 항상 L에 가까워지면) xa로 갈 때 f(x)L로 수렴한다(converge)고 한다.

함수의 극한값

극한법칙

극한법칙

상수 a와 c에 대하여

limxac=c,limxax=a

이다. 이 극한값과 f(x)=g(x)=x로 놓고 세 번째 성질을 반복하여 이용하면

limxaxn=an

임을 알 수 있다. 다시 이 성빌과 첫 번째 성질, 두 번째 성질을 이용하면 다항식 f(x)에 대하여

limxaf(x)=f(a)

이 성립한다. 마지막으로 유리함수 Q(x)=f(x)g(x)에 대하여 limxag(x)0이면

limxaQ(x)=limxaf(x)g(x)=f(a)g(a)=Q(a)

이다.

다항식과 유리함수의 극한값

무한대에서의 극한값

y=ax의 그래프는 a>0일 때와 a<0일 때 각각 다음과 같다.

반비례 그래프

x 일 때 ax는 0에 가까워진다. 이때

limxax=0

이라고 나타내고 x가 양의 무한대로 갈 때 ax는 0으로 수렴한다(converge)고 한다. 여기서 0을 ax의 양의 무한대에서의 극한값(limit)이라고 한다. 마찬가지로 x 일 때 ax는 0에 가까워지는데 이런 경우

limxax=0

이라고 나타내고 음의 무한대에서 극한값은 0이라고 한다. 일반적으로 x±일 때의 함수 y=f(x)의 극한값은 다음과 같이 정의한다.

무한대에서의 극한값

분자가 상수이고 양의 무한대에서 분모가 양, 또는 음의 무한대 값을 가진다고 하자. 그러면 그 함수의 양의 무한대에서 극한값은 0이다. 다시 말해서 g(x)=cf(x)limxf(x)= 이면

limxg(x)=limxcf(x)=0

이다. 이러한 성질은 다음과 같이 간단히 나타내기도 한다.

c=0

수평점근선

f(x)=2x+1x1의 그래프는 x가 커지면 직선 y=2의 그래프와 아주 가까워진다. 이런 경우 직선 y=2y=f(x)의 수평점근선(horizontal asymptote)이라고 한다. 일반적으로 수평점근선은 x의 무한대에서의 극한값을 구하면 찾을 수 있다.

수평 점근선

무한대에서의 극한값 구하기

함수 f(x)g(x)의 무한대에서의 극한값은 분모의 극한값이 0이 아닌 유한한 값을 갖도록 변형하여 구한다. 특히, 유리함수의 무한대에서의 극한값은 분자와 분모를 분모의 최대차수로 나누면 구하여진다.

두 다항함수

f(x)=anxn++a1x+a0,g(x)=bmxm++b1x+b0

에 대하여

Q(x)=f(x)g(x)

라고 하자. 분자, 분모를 xm으로 나눈 후 계산하면 다음 결과를 얻는다.

limxQ(x)={0,n<manbn,n=m±,n>m

유리함수가 아닌 일반적인 분수함수의 경우도 분모의 극한값이 0이 아닌 유한한 극한값을 갖도록 변형하여 계산한다.

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