Interactive Multiple Model

IMM필터는 혼합과정, 필터링 과정, 모델 확률 갱신과정, 최종 추정치 계산 과정을 반복하는 구조를 갖는다. 각 서브 필터들은 칼만필터로 설계를 하고 각 필터는 매 cycle의 초기에 혼합된 추정값으로 새로운 추정값을 계산하기 위해 현재 측정값 및 모델에 대한 우도비율(Likelihood ratio)을 계산한다. 결과적으로 모델의 우도비율을 이용하여 각 모델에 대한 모드 확률을 계산하고 이를 이용하여 각각의 필터 출력들을 결합하여 최종 필터 추정치를 계산한다.

1) 혼합과정

IMM필터의 상호작용 과정에서는 이전 시간(k-1)에 모든 필터에서 계산된 추정치를 혼합하여 각 필터에 들어가는 초기치를 계산한다. 첫 번째 모드 행렬이 동질 마르코프 연쇄성질(homogeneous markov transition property)을 가질 때 마르코프 체인 전이 확률 행렬(markov chain transition probability matrix)을 $\pi_{ij}$로 정의하고 서브 필터 j에 대한 신뢰성을 의미하는 모든 확률을 $\mu_{ij}$라고 할때 혼합 확률(mixing probability) $\mu_{i|j}$ 는 다음과 같이 정의한다.

$$\mu_{i|j}(k)=\frac{\pi_{ij}(k)\mu_i(k)}{\sum_{i=1}^{N}\pi_{ij}\mu_i(k)}$$

위의 혼합 확률을 가중치로 사용하여 모든 필터에서 이전 시간에 계산된 추정치의 합으로 필터의 초기치 상태와 공분산을 계산할 수 있다.

$$\hat{x}_j^0(k|k)=\sum_i\hat{x}_i(k|k)\mu_{i|j}(k)\\
P_j^0(k|k)=\sum_i[P_i(k|k)+[\hat{x}_j^0(k|k)-\hat{x}_i(k|k)][\hat{x}_j^0(k|k)-\hat{x}_i(k|k)]^T]\mu_{i|j}(k)$$

2)필터링 과정

전 단계에서 계산된 상태변수와 공분산 값을 이용하여 예상 상태치와 공분산 값을 계산하면 다음과 같다.

$$\hat{x}_j(k+1|k)=F_j(k)\hat{x}_j^0(k|k)+B_j(k)\bar{v}_j(k)\\
P_j(k+1|k)=F_j(k)P_j(k|k)F_j(k)^T+B_j(k)Q_j(k)B_j(k)^T$$

이후에 필터에서 측정치가 갱신되면 상태와 공분산의 갱신 과정이 이루어진다. 

$$\hat{x}_j(k+1|k+1)=\hat{x}_j(k+1|k)+K_j(k)r_j(k) \\
P_j(k+1|k+1)=P_j(K+1|k)-K_j(K+1)S_j(k+1)K_j(K+1)^T$$

여기서, $r_j$는 잔차(residual)이며 측정치와 추정치 간의 차이를 의미한다.$S_j$는 잔차의 공분산을 의미하며 $K_j$는 칼만 이득(kalman gain)을 의미한다.

3) 모델 확률 갱신과정

j 번째 필터의 모델 확률을 계산하기 위해서 2)과정에서 계산된 잔차와 잔차의 공분산을 이용하여 Likelihood은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$\Lambda_j(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi|S_j(k)|}}\exp(-\frac{1}{2}r_j(k)^TS_j^{-1}(k)r_j(k))$$

이제 앞에서 계산한 예상 모델 확률과 우도 비율을 이용하여 모델 확률을 갱신한다.

$$\mu_j(k+1)=\frac{\mu_j(k+1|k)\Lambda_j(k+1)}{\sum_i\mu_i(k+1|k)\Lambda_i(k+1)}$$

4) 최종 추정치 계산

갱신된 모델 확률과 필터의 추정치를 이용하여 최종 추정치를 계산한다.

$$\hat{x}(k+1|k+1)=\sum_j\hat{x}_j(k+1|k+1)\mu_j(k+1)\\
P(k+1|k+1)=\sum_j[P_j(K+1|k+1)+[\hat{x}(k+1|k+1)-\hat{x}_j(k+1|k+1)][\hat{x}(k+1|k+1)-\hat{x}_j(k+1|k+1)]^T]\mu_j(k+1)$$

계산된 최종 추정치는 각각의 서브필터의 상태와 공분산 값으로 들어가며, 1)~4)의 과정이 반복적으로 이루어지며 필터의 알고리즘이 구성된다.