Spring Mass Damped System 풀이

Q.1) If a mass–spring system with an iron ball of weight W = 98nt (about 22 lb) can be regarded as undamped, and the spring is such that the ball stretches it 1.09 m (about 43 in.), how many cycles per minute will the system execute? What will its motion be if we pull the ball down from rest by 16 cm (about 6 in.) and let it start with zero initial velocity?

Q.2) if we change the damping constant c from one to another of the following three values, with y(0) = 0.16 and y'(0) = 0 as before? (I) c=100 kg/sec , (II) c=60 kg/sec, (III) c=10 kg/sec.

Sol.1) W =98nt인 쇠구슬을 spring에 매달았을 때 1.09m 늘어났으므로 spring ratio는 

$$W=kx, \quad \Rightarrow \quad 98 = k\times1.09 \quad \therefore k=\frac{98}{1.09}=90 kg/sec^2$$

질량은 무게에서 중력가속도를 나누어 구할 수 있다. m=98/9.8=10 kg. 

spring mass system의 운동방정식을 구하면 다음과 같다.

$$mx''+kx=0 \quad \Rightarrow \quad 10x''+90x=0, \quad \therefore x''+ 9x=0\\ \lambda^2+9=0, \lambda=\pm3i$$

위 식에서 람다가 허수로 나오기 때문에 일반 해를 구하면 다음과 같다.

$$x(t)=Acos3t+Bsin3t$$

초기조건 x(0) = 0.16이고 이때 속력은 0가 된다. 따라서 특수 해를 구할 수 있다.

$$x(0) = A = 0.16, \quad x'(0)=-3Asin(3 \times 0)+3Bcos(3 \times 0) = 3B =0\\ \therefore x(t)=0.16cos3t$$

진동수는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ f=\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{3}{2\pi} Hz \quad \Rightarrow \quad f=\frac{3\times60}{2\pi} = 28.648 cycles/min$$

Matlab을 활용하면 간편하게 구할 수 있습니다.

m=10;
k=90;
syms x(t)
Dx=diff(x);
D2x=diff(x,2);
eqn = m*D2x+k*x==0;
cond = x(0)==0.16;
cond2 = Dx(0)==0;
sol = dsolve(eqn,cond,cond2)
 
(4*cos(3*t))/25

Sol.2) 위 식에 damping을 추가하여 방정식을 만들면 다음과 같다.

$$mx''+cx'+kx=0 \quad \Rightarrow \quad x''+\frac{c}{m}x'+\frac{k}{m}x=0, \quad \therefore \lambda^2+\frac{c}{m}\lambda+\frac{k}{m}=0$$

c=100 kg/sec이므로 이때는 실근을 갖는다.

$$\lambda^2+10\lambda+9=0 \quad \Rightarrow \quad (\lambda+1)(\lambda+9)=0,\quad \therefore \lambda=-1,-9$$

초기 조건을 그대로 적용하여 특수 해를 구할 수 있다.

$$x(t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-9t},\quad x(0)=0.16,\; x'(0)=0 \qquad \Rightarrow x(t)=0.18e^{-t}-0.02e^{-9t}$$

c=60 kg/sec일 때 중근을 갖는다.

$$\lambda^2+6\lambda+9=0 \quad \Rightarrow \quad (\lambda+3)^2=0,\quad \therefore \lambda=-3$$

초기 조건을 그대로 적용하여 특수 해를 구할 수 있다.

$$x(t) = (c_1+c_2 t) e^{-3t},\quad x(0)=0.16,\; x'(0)=0 \qquad \Rightarrow x(t)=(0.16+0.48t)e^{-3t}$$

c=10 kg/sec일 때 복소수 근을 갖는다.

$$\lambda^2+1\lambda+9=0 \quad \Rightarrow \quad \therefore \lambda=\frac{-1\pm\sqrt{35}i}{2}=-0.5+2.96i$$

초기 조건을 그대로 적용하여 특수 해를 구할 수 있다.

$$x(t) = e^{-0.5t}(Acos2.96t+Bsin2.96t),\quad x(0)=0.16,\; x'(0)=0 \qquad \Rightarrow x(t)=e^{-3t}(0.16cos2.96t+0.027sin2.96t)$$

매틀랩을 활용해서 간단히 구할 수 있다.

%mass damped spring
m=10;
k=90;
c1=100;
c2=60;
c3=10;
syms x(t)
Dx=diff(x);
D2x=diff(x,2);
eqn1 = m*D2x+c1*Dx+k*x==0;
eqn2 = m*D2x+c2*Dx+k*x==0;
eqn3 = m*D2x+c3*Dx+k*x==0;
cond = x(0)==0.16;
cond2 = Dx(0)==0;
sol1 = dsolve(eqn1,cond,cond2)
sol2 = dsolve(eqn2,cond,cond2)
sol3 = dsolve(eqn3,cond,cond2)

sol1 =
 (9*exp(-t))/50 - exp(-9*t)/50
  
sol2 =
 (4*exp(-3*t)*(3*t + 1))/25
 
 sol3 =
 (4*exp(-t/2)*(35*cos((35^(1/2)*t)/2) + 35^(1/2)*sin((35^(1/2)*t)/2)))/875