Spring Mass Damped System 풀이

Q.1) If a mass–spring system with an iron ball of weight W = 98nt (about 22 lb) can be regarded as undamped, and the spring is such that the ball stretches it 1.09 m (about 43 in.), how many cycles per minute will the system execute? What will its motion be if we pull the ball down from rest by 16 cm (about 6 in.) and let it start with zero initial velocity?

Q.2) if we change the damping constant c from one to another of the following three values, with y(0) = 0.16 and y'(0) = 0 as before? (I) c=100 kg/sec , (II) c=60 kg/sec, (III) c=10 kg/sec.

Sol.1) W =98nt인 쇠구슬을 spring에 매달았을 때 1.09m 늘어났으므로 spring ratio는 

$$W=kx,\Rightarrow 98=k\times 1.09\therefore k=\frac{98}{1.09}=90kg/se{c}^2$$

질량은 무게에서 중력가속도를 나누어 구할 수 있다. m=98/9.8=10 kg. 

spring mass system의 운동방정식을 구하면 다음과 같다.

$$\begin{gathered} m{x}^{″}+kx=0\Rightarrow 10x^{″}+90x=0,\therefore x^{″}+9x=0 \\ {\lambda }^2+9=0,\lambda =\pm 3i \end{gathered}$$

위 식에서 람다가 허수로 나오기 때문에 일반 해를 구하면 다음과 같다.

$$x(t)=Acos3t+Bsin3t$$

초기조건 x(0) = 0.16이고 이때 속력은 0가 된다. 따라서 특수 해를 구할 수 있다.

$$\begin{gathered} x(0)=A=0.16,x^{\prime }(0)=-3Asin(3\times 0)+3Bcos(3\times 0)=3B=0 \\ \therefore x(t)=0.16cos3t \end{gathered}$$

진동수는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$f=\frac{{\omega }_0}{2\pi }=\frac{3}{2\pi }Hz\Rightarrow f=\frac{3\times 60}{2\pi }=28.648cycles/min$$

Matlab을 활용하면 간편하게 구할 수 있습니다.

m=10;
k=90;
syms x(t)
Dx=diff(x);
D2x=diff(x,2);
eqn = m*D2x+k*x==0;
cond = x(0)==0.16;
cond2 = Dx(0)==0;
sol = dsolve(eqn,cond,cond2)
 
(4*cos(3*t))/25

Sol.2) 위 식에 damping을 추가하여 방정식을 만들면 다음과 같다.

$$m{x}^{″}+c{x}^{\prime }+kx=0\Rightarrow x^{″}+\frac{c}{m}{x}^{\prime }+\frac{k}{m}x=0,\therefore {\lambda }^2+\frac{c}{m}\lambda +\frac{k}{m}=0$$

c=100 kg/sec이므로 이때는 실근을 갖는다.

$${\lambda }^2+10\lambda +9=0\Rightarrow (\lambda +1)(\lambda +9)=0,\therefore \lambda =-1,-9$$

초기 조건을 그대로 적용하여 특수 해를 구할 수 있다.

$$x(t)=c_1{e}^{-t}+c_2{e}^{-9t},x(0)=0.16,x^{\prime }(0)=0\Rightarrow x(t)=0.18e^{-t}-0.02e^{-9t}$$

c=60 kg/sec일 때 중근을 갖는다.

$${\lambda }^2+6\lambda +9=0\Rightarrow (\lambda +3{)}^2=0,\therefore \lambda =-3$$

초기 조건을 그대로 적용하여 특수 해를 구할 수 있다.

$$x(t)=(c_1+c_{2}t)e^{-3t},x(0)=0.16,x^{\prime }(0)=0\Rightarrow x(t)=(0.16+0.48t)e^{-3t}$$

c=10 kg/sec일 때 복소수 근을 갖는다.

$${\lambda }^2+1\lambda +9=0\Rightarrow \therefore \lambda =\frac{-1\pm \sqrt{35}i}{2}=-0.5+2.96i$$

초기 조건을 그대로 적용하여 특수 해를 구할 수 있다.

$$x(t)=e^{-0.5t}(Acos2.96t+Bsin2.96t),x(0)=0.16,x^{\prime }(0)=0\Rightarrow x(t)=e^{-3t}(0.16cos2.96t+0.027sin2.96t)$$

매틀랩을 활용해서 간단히 구할 수 있다.

%mass damped spring
m=10;
k=90;
c1=100;
c2=60;
c3=10;
syms x(t)
Dx=diff(x);
D2x=diff(x,2);
eqn1 = m*D2x+c1*Dx+k*x==0;
eqn2 = m*D2x+c2*Dx+k*x==0;
eqn3 = m*D2x+c3*Dx+k*x==0;
cond = x(0)==0.16;
cond2 = Dx(0)==0;
sol1 = dsolve(eqn1,cond,cond2)
sol2 = dsolve(eqn2,cond,cond2)
sol3 = dsolve(eqn3,cond,cond2)

sol1 =
 (9*exp(-t))/50 - exp(-9*t)/50
  
sol2 =
 (4*exp(-3*t)*(3*t + 1))/25
 
 sol3 =
 (4*exp(-t/2)*(35*cos((35^(1/2)*t)/2) + 35^(1/2)*sin((35^(1/2)*t)/2)))/875