DC모터의 수학적 분석

모터(Motro)란?

우리 일상생활에 많이 접하는 모터에 대해서 알아보는 시간을 갖겠습니다.

모터의 의미는 라틴어의 "moto"(움직인다)에서 왔다고 하네요.

에너지를 공급받아 어떤 기계적인 움직임으로 변환하는 장치를 모터라고 부를 수 있겠는데요. 여기서 공급받는 에너지 형태는 전기, 열, 압력, 탄성 등 매우 다양합니다. 국내에서 모터라고 하면 전기 모터, 즉 전기에너지를 회전운동으로 변환하는 전동기를 가리키지만 영어권에서는 전기모터부터 로켓이나 내연기관도 모터라고 부를 수 있기 때문에 좀 더 넓은 의미의 원동기를 가지는 경우가 많습니다. 그러니 영어로 된 글을 읽다가 모터라는 단어가 나왔다고 해서 단순히 전기모터?라고 생각하면 안되겠죠??

 

전기모터는 오래전부터 가정이나 산업에서 가장 많이 쓰이는 동력장치입니다. 쓰이는 용도에 따라 다양한 종류의 모터가 있는데요 그중에 모터의 원리를 알아보기 위해 가장 흔하고 구조가 간단한 DC모터에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

우선 모터를 알기 전에 자기회로와 전기회로를 간단히 집고 넘어가죠

전기회로는 전기가 흐를 수 있도록 설치된 닫힌 회로를 말합니다. (-)전하를 띤 전자들이 전선(도선)을 따라 움직이면서 저항, 코일, 축전기 등을 거쳐 우리가 원하는 형태로 사용할 수 있죠. 그에 비해 자기회로는 약간 생소할 수 있습니다. 자석주변에 자기장이 발생된다라는 개념은 알고 있을꺼에요. 이 자기장을 전기회로마냥 접근해서 문제를 단순화 시킨 회로라고 생각하시면 됩니다.

전기모터는 전기회로와 자기회로의 각 특성을 이용해서 회전운동(토크, Torque)을 만들어 내는 것입니다.

위 그림은 DC모터의 내부입니다. 전기 모터가 회전을 하려면 고정되어 있어야하는 부분과 회전하는 부분이 있어야하겠죠? 이를 고정자와 회전자라고 합니다. 그림에서 N극과 S극 자석이 벽에 붙어 있고 모터축에는 코일이 감겨있는 철심이 있습니다. 여기서 자석은 고정자가 되고 철심이 회전자가 됩니다. 우리는 자석이 서로 다른 극성을 끌어당기는 힘(인력)과 같은 극을 밀어내는 힘(척력)이 있다는 것을 알고 있습니다. DC모터는 철심에 감겨져 있는 코일에 전기(전류)를 흘려보내 인위적으로 자석을 만들어 인력과 척력으로 회전력을 만들어 냅니다. 하지만 회전을 하기 위해서 인력과 척력이 수시로 변해야 하는데 이는 회전자의 N극,S극이 수시로 변화해야하는 것을 의미합니다. 여기서 철심에 코일을 감아놓은 이유가 밝혀집니다.

위 그림은 앙페르의 오른나사 법칙입니다. 전선에 오른 나사가 진행하는 방향으로 전류가 흐르면 자기장(자력선)은 오른 나사가 회전하는 방향으로 만들어 집니다. 따라서 철심에 전류가 흐르면 회전자는 자석으로 변해서 힘(기전력)이 발생이 되고 힘에 의해 철심의 방향이 바뀌면 감은 코일에 전류의 방향을 변경해줌으로써 회전자의 N극과 S극이 변하면서 회전이 가능해집니다. 모터 내부그림에서 흰색 부분은 전류의 방향을 전환시켜주는 역할을 하고 이를 Brushes라고 합니다.

이렇게 간단히 DC모터의 작동원리를 파악해 보았습니다.

 

DC모터를 제어하기 위해서는 위 원리를 바탕으로 수학적 모델링을 해야합니다.

철심에 여러 번 코일을 감았으므로 통상 감은 횟수(N)와 코일로 형성된 단면석을 통과하는 단위자속()의 곱으로 철심의 자속를 표현할 수 있습니다. 여기서 코일에 흘려보낸 전류와 이로 인해 발생한 자속(자기력)과의 관계를 알아볼 필요가 있습니다.

1)   

2)  

2)의 식처럼 자속과 그 자속을 발생시킨 전류와의 비를 인덕턴스(Inductance: L)이라고 합니다. 자기회로의 인덕턴스가 크면 작은 전류로도 큰 자속을 만들 수 있다는 것을 의미하고 코일을 감은 횟수와 비례하게 됩니다. N회 감긴 코일에 전원이 연결되어 일정시간(dt)동안 전류가 0에서 I까지 증가되면 자기회로에 자속이 발생될 경우 일정시간 동안 공급된 전기 에너지는 자계 에너지로 축전될 것입니다.

3)  

(에너지= 전력*시간)

전기적으로 공급된 전력은 전류와 기전력의 곱으로 표현할 수 있는데 여기서 기전력은 전기로 인해 유도되었으므로 유도기전력이라고 부릅니다. 코일의 유도 기전력은 시간에 대한 자속의 변화율에 비례한다는 전자기 유도 현상을 나타내는 패러데이 법칙으로 다음과 같이 수식을 나타낼 수 있습니다.

4)  

회로의 자속이 시간에 관계없이 일정하다면 유도 기전력은 0이 될 것입니다. 이러한 유도 기전력의 방향은 렌츠 법칙에 따라 자속의 변화를 방해하는 방향으로 작용됩니다.

그럼 다시 전기회로로 넘어 와서 전압은 저항과 인덕턴스 전압 강하 성분 및 유기 기전력의 합으로 나타낼 수 있습니다.

5)  

i는 권선의 전류, R은 권선의 저항, L은 권선의 인덕턴스이며 e는 유기 기전력입니다. 유도 기전력도 생소하고 어려운도 유기 기전력은 또 무엇이냐라고 하실수 있습니다. 앞에서 설명했듯이 유도 기전력은 자속의 변화로 생기는 기전력이고 유기 기전력은 자기장이 형성된 공간에서 움직이고 있는 도체로 인해 발생하는 기전력이 됩니다. 즉 유도 기전력으로 인해 도체가 움직이고 이 움직임으로 인해 또다시 기전력이 발생한다는 이야기 입니다. 흔히 모터와 발전기는 같다라는 말을 들어 보았을 것입니다. 발전기는 풍력이나 수력 등으로 터빈을 돌리면 자기장이 형성된 공간에서 도체가 움직이기 때문에 전기가 발생되는 원리인데 이러한 맹락으로 이해해도 됩니다. 유기기전력은

6)  

과 같이 표현이 되고 B는 자속의 밀도, ㅣ은 도체의 길이, v는 도체가 움직이는 속도입니다. 이로부터 자기장()가 형성되어 있는 공간 내에 의 각속도로 회전하고 있는 도체(코일)에 유기되는 기전력은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

7)  

여기서 는 역기전력 상수입니다. DC모터에 전압을 인가하여 권선에 전류가 흐르는 경우 발생하는 회전력(Torque)은 자기장이 형성된 공간에서 전류가 흐르는 어떤 도체에 발생되는 힘

8)  

으로 표현이 됩니다. 모터는 회전자와 축으로 연결되어 구동하기 때문에 모터의 속도 w로 다음 식으로 나타낼 수 있습니다.

9)  

 J는 관성모멘트이며 B는 마찰 계수입니다.

이번 포스팅은 DC모터의 원리와 이를 바탕으로 수학적 모델링을 알아보았습니다.

다음 포스팅은 수학적 모델링을 바탕으로 제어를 위해 블록도를 나타내는 법을 게시하겠습니다.