BLDC모터 수학적 분석

비교적 단순한 DC모터를 통해 모터의 구동원리에 대해서 알아보았습니다.

이번에 알아볼 모터는 BLDC모터 입니다. DC모터는 자석이 고정자이고 코일이 감긴 철심이 회전자이었습니다. 하지만 코일에 흘려보내는 전류의 방향을 바꿔 주어야하기 때문에 Brush가 필요했지만 Brush의 내구성이 좋지 않아 DC모터는 오래 사용하지 못하는 단점과 낮은 효율(Spark)과 소음문제가 발생했습니다. 이러한 단점을 개선한 모터가 BLDC(Brush Less DC)모터입니다. 

BLDC모터 내부구조

그림을 보면 BLDC도 자석과 코일을 감은 철심이 존재합니다. 하지만 BLDC는 자석이 회전자가되고 코일이 감긴 철심이 고정자가 됩니다. 코일이 회전을 하지 않으니 제어기라는 것을 통해 전류의 방향을 통제할 수 있어 Brush가 필요없는 형태입니다.

모터 분석에 앞서 많이 사용하고 있는 BLDC모터가 있지만 최근에 PMSM(permanent Magnet Synchronous Motors)의 장점으로 인해 교체되고 있는 추세입니다. BLDC모터와 PMSM모터 두 모터는 회전자가 영구자석으로 3상인 기본적인 구조는 매우 유사하지만 주된 차이는 모터 회전시 각각 역기전력이 사다리꼴파(BLDC)와 정현파(PMSM)라는 것입니다. 넓은 의미에서 BLDC모터는 PMSM모터를 포함하며 BLDC모터는 6-step commutation이라는 전기각을 매 60degree 간격으로 전류의 크기와 방향을 바꾸는 스칼라 제어를 사용하는 반면에 SPMS에서는 공간벡터제어라는 기법으로 전체 사이클에 대해서 전류의 크기와 방향을 제어하여 토크 직접제어가 가능하고 속도제어, 위치제어 등에서 탁월한 성능을 발휘 합니다. 이 부분에 대해서는 블럭도를 통해 모터 제어설계를 할때 보다 자세히 다루도록 하겠습니다. 여튼 BLDC모터와 PMSM모터 약간의 차이가 있지만 PMSM이 좀더 좋은 효율을 가지고 있다라고 생각하면 되겠습니다. 아래 표를 이용해 간략히 두 모터의 차이점을 나열해 두었습니다.

	BLDC	PMSM
권선형택	집중권	분산권
용도	고토크, 고속도 제어	고효율, 정밀 제어
인버터 효율	High	Low
모터 효율	Low	High
모터 비용	Low	Medium
역기전력 & 전력	사다리꼴파 & 구형파	정현파
제어방식	간편한 제어(6개 사다리꼴 상태) 정류 시 토크 리플 저속에서 더욱 뛰어남 잡음 있음 분배 와인딩에서 작동하지 않음 낮은 토크에서 비효율적 낮은 비용	복잡한 제어(연속 3상 사인파) 정류시 토크 리플 없음 비교적 높은 최대 가능 속도 적은 잡음 저비용 분배 와인딩에서 작동 높은 토크에서 비교적 높은 효율 높은 비용

역기전력 파형 (좌 BLDC, 우: PMSM)

모터를 구동시키기 위해서는 회전자(영구자석)가 회전하도록 영구자석의 위치에 따라 고정자의 권선에 전류를 흘려서 자속을 발생시킬 권선을 순서적으로 바꿔 주어야 합니다. 이를 위해서는 교류신호가 필요하고 따라서 우리는 인터버라는 장치를 이용해서 직류를 교류로 바꿔서 모터가 회전하도록 만들었습니다. 인버터는 논리회로로 구성되어 있어 수학적 해석이 불가능하므로 인버터에 대한 분석은 우선 제외하고 모터에 대한 해석을 다루도록 하겠습니다. (논리제어는 추후에 다루겠습니다.)

영구자석이 회전을하고 고정자에는 3개의 고정자상이 존재합니다. 우리는 이를 흔이 a,b,c 혹은 u,v,w 이라고 부릅니다. BLDC는 A,B,C상과 방향(+/-)을 포함하여 6-step이라고 말을 하는 것이고 PMSM은 6-step보다 더 연속적으로 전류흐름을 제어하기 때문에 제어방법이 까다롭지만 효율이 더 좋은 것입니다. 각 상에 걸리는 전압 방정식은 DC모터와 마찬가지로 다음과 같습니다.

1)  

역기전력은 회전자가 회전함으로써 자속의 변화가 발생하고 페러데이 법칙과 렌츠 법칙에 의해 발생된 반대방향의 전류로 인한 회전력을 의미합니다. 이 역기전력은 다음과 같이 자속과 각속도 그리고 사인파형태의 회전자 각도로 표현할 수 있습니다.

2)  

: 역기전력 상수, p: 극수, : 각도

또는 역기전력은 모터의 각속도에 비례하기 때문에 역기전력 상수를 통해 비례식으로 선형화 할 수 있으며 역기전력 상수는 각속도 당 역기전력의 크기가 됩니다. Power(일률)는 전압과 전류의 곱으로 나타낼 수 있고 토크와 각속도의 곱으로도 나타낼 수 있습니다. 이를 이용하여 토크를 표현하면 다음 식이 됩니다.

3)    

: 토크상수

토크 상수는 단위 전류 당 토크의 크기이며 과도 응답 상태를 제외하고 전압 방정식을 아래와 같이 표현 할 수 있습니다.

 

4)  

그리고 양변에 전류를 곱하면 입력 Power와 출력 Power의 관계를 도출 할 수 있으며 전압과 전류의 곱이 입력 Powr가 되고 역기전력과 전류의 곱을 출력 Power라 생각할 수 있습니다. 또 전류의 제곱과 저항과의 곱이 손실 Power라 생각할 수 있습니다. 식 3)과 같이 출력 Power는 모터의 토크와 각속도의 곱으로 표현할 수 있으므로 손실이 없는 이상적인 상황에서는 토크 상수와 역기전력 상수가 같습니다. 마지막으로 회전자의 회전에 대한 운동방정식은 간단하게 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

5)  

모터의 수학적 해석이 완료되면 이를 바탕으로 전산 프로그램(Matlab)을 이용해 Block Diagram을 구축하고 모터의 성능을 파악할 수 있습니다.