1차 상미분방정식(First Oder Differential Equations) 이해

물리적 현상이나 다른 문제를 유도함으로써 상미분 방정식을 유도할 수 있습니다. 방정식을 수식으로 풀어내면 현상을 이해하는데 도움이 됩니다. 상미분 방정식 중 가장 간단한 방정식이 1차 상미분 방정식입니다. 독립변수(x) 하나로 인해 종속변수(y)가 변하므로 간단한 형태가 됩니다. 이러한 행위를 수학적 모델링이라고 합니다. 1차 상미분 방정식은 다음과 같은 형태입니다.$$y' = cos x\\y'=0.2y\\y' = f(x,y)$$미지의 함수 y와 도함수 y' 그리고 변수의 함수들로만 구성이 되어 있습니다. 식 (1)과 식 (2)는 도함수가 주어져 있고 미분방정식을 만족시키는 함수를 찾는 것이 해(Solution)를 구한다고 합니다. 보통 미분방정식의 해는 임의의 적분 상수(c)로 인해 정해져 있지 않습니다. 이를 일반 해(general Solution)이라고 합니다. 이 일반 해는 특정한 조건을 만족시키는 경우가 있을 때 적분 상수가 결정이 되므로 특수 해(Particular Solution)라고 합니다. 이러한 특정한 조건은 초기 조건으로 결정되는 경우가 많이 있습니다. 즉, 도함수와 초기 조건이 주어질 경우 우리는 특수 해를 풀 수 있습니다.$$y'\ =\ f\left(x,\ y\right),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y\left(x_0\right)\ =\ y_0$$다음의 예를 보겠습니다.$$y'\ =\ f\left(x,\ y\right),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y\left(x_0\right)\ =\ y_0$$위와 같은 경우 일반 해는$$y\left(x\right)\ =\ ce^{3x}$$c의 값이 정해져 있지 않기 때문입니다. 초기 조건인 5.7을 적용할 경우$$y\left(0\right)\ =\ ce^0\ =\ c\ =\ 5.7,\ \ \ \ \ \ \ \ \therefore \ y\left(x\right)\ =\ 5.7e^{3x}$$위와 같이 특수 해를 얻을 수 있습니다. 모델화(Modeling)이라는 것은 물리적 상황에서 수학적 공식을 도출하고 수학적 방법에 의해 해를 구한 뒤 물리적으로 해석하는 행위입니다. 예를 들어보겠습니다. 0.5g으로 주어진 방사능 물질의 양이 시간이 경과한 후 얼마나 남아 있는지 구해보도록 하겠습니다. 먼저 물리적 과정을 수학적 모델로 설정해야 합니다. 분해 속도는 현재 양에 비례하므로$$\frac{dy}{dt}\ =\ -ky,\ \ \ \ \ \ \ \ y\left(0\right)\ =\ 0.5$$고 할 수 있습니다. 그럼 위의 예시와 같은 방법으로 특수 해를 구하면$$y\left(t\right)\ =\ 0.5e^{-kt}$$여기서 k의 값은 비례 상수로 물질의 종류에 따라 달라지게 됩니다. 시간이 지남에 따라 남아 있는 양은 0에 접근해 가는 것을 알 수 있습니다.

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번에는 도함수 y'이 가지는 기학적 의미를 살펴보겠습니다. $$y'\left(x_0\right)\ =\ f\left(x_0,\ y_0\right)$$

위 식은 점(x0,y0)에서 y'(x0)의 기울기를 갖는다는 것을 의미합니다. 기울기를 가진 작은 선 요소(lineal Element)들을 그래프 상에 표시한 것을 방향장(Direction Fields)라고 합니다. 선 요소들의 방향을 따라 선을 그리면 대략적인 해 곡선의 모양을 알 수 있습니다.

미분방정식을 푸는 방법에 대해 좀더 이야기해보겠습니다. 미분방정식의 왼쪽은 y, 오른쪽은 x만으로 구성시킵니다.$$g\left(y\right)y'\ =\ f\left(x\right)\ \ \Rightarrow \ \ g\left(y\right)dy\ =\ f\left(x\right)dx\ \left(\because \ y'\ =\ \frac{dy}{dx}\right)$$위 식을 변수 분리형 방정식(Separable equation)이라고 합니다. 각 변을 적분하면$$\int _{\ }^{\ }g\left(y\right)dy\ =\ \int _{\ }^{\ }f\left(x\right)dx\ +c$$변수를 분리할 경우 양변을 적분하여 쉽게 해를 구할 수 있습니다. 변수 분리법을 좀 더 확장시켜 보겠습니다. 함수 u(x, y)의 전체 미분 즉, 편미분을 하면 다음과 같습니다.$$du\ =\ \frac{\partial u}{\partial x}dx\ +\ \frac{\partial u}{\partial y}dy$$만약 위 식의 미분 값이 0이라면 u는 일정한 상수값을 갖는다는 의미입니다.$$du\ =\ \frac{\partial u}{\partial x}dx\ +\ \frac{\partial u}{\partial y}dy\ =\ M\left(x,\ y\right)dx\ +\ N\left(x,\ y\right)dy\ =\ 0$$M과 N은 x와 y로 각각을 편미분 한 함수라고 정의를 하겠습니다. M과 N을 다시 y와 x로 미분을 하면 두 함수는 같아야 합니다. 즉,$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\ \ \left(\because \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{\partial ^2u}{\partial x\partial y},\ \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=\frac{\partial ^2u}{\partial x\partial y}\right)$$위 조건을 명시해 두고 다시 M과 N으로 돌아오겠습니다. 함수 M은 함수 U의 x에 대해 미분한 도함수이므로 다시 적분을 하면 함수 U가 되어야 합니다.$$M\left(x,\ y\right)\ =\ \frac{\partial u}{\partial x}\ \Rightarrow \ u\left(x,\ y\right)\ =\ \int _{\ }^{\ }M\left(x,\ y\right)dx\ +\ k\left(y\right)$$함수 U는 x와 y로 이루어진 함수이므로 x에 대해 미분 후 다시 적분을 했을 때 함수 y가 있어야 합니다. 함수 M을 x에 대해 적분한 후 다시 y에 대해 미분을 하면 함수 N이 되어야 합니다.$$u\left(x,\ y\right)\ =\ \int _{\ }^{\ }M\left(x,\ y\right)dx\ +\ k\left(y\right)\ \Rightarrow \ \frac{\partial u}{\partial y}\ =\ N\left(x,\ y\right)$$결국 dk/dy는 N(x, y)로 인해서 구할 수가 있습니다. y에 대해 적분을 하면 k(y)를 얻을 수가 있어 함수 U를 구할 수 있습니다. 위와 같은 방법으로 미분방정식을 풀기 위해서는 $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$

가 성립되어야 합니다. 이를 완전 미분방정식(Exact Differential Equation)이라고 합니다.

방정식내에서 미지의 함수 y와 그 도함수 y'의 관계가 선형인 경우 선형 미분방정식(Linear Differential Equation)이라고 합니다.$$y'\ +\ p\left(x\right)y\ =\ r\left(x\right)$$여기서 r(x)가 0일 경우 제차 선형미분방정식(Homogeneous Linear ODE)라고 합니다. r(x)가 0이 아닐 경우 비제차 선형 미분방정식(Nonhomogeneous Linear ODE)입니다.