2차 미분방정식(Second Order Linear ODEs) 이해

2차 미분방정식은 다양한 공학적 문제를 해결하는데 기본이 되는 식입니다. 쉬운 선형 2차 미분방정식부터 접근하겠습니다.

$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$에서 r(x)가 0이면 제차(Homogeneous), 0이 아니면 비제차(nonhomogeneous)이라고 합니다. 당연히 Homogenous가 풀이하는데 쉽겠죠? 선형 미분방정식을 풀이는 중첩의 원리 도는 선형성의 원리를 이용합니다. 어떤 구간에서 두 개 해의 선형 결합은 다시 그 구간에서 미분방정식의 해가 된다는 의미입니다. 즉, 해들의 합과 상수곱도 다시 해가 된다는 것입니다. 만약 재차 미분방정식의 해가 y1과 y2가 있다면 각각이 해가 되지만 중첩의 원리에 의해 $$y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$$또한 근이 된다는 것입니다.

초기 조건이 주어져 있으면 특수 해를 구할 수가 있습니다. $$y(x_{0})=K_{0},\qquad y'(x_{0})=K_{1}$$따라서 Initial Value Problems은 제차 선형 미분방정식과 두 개의 초기 조건으로 구성되어 있습니다.

초기 조건없이 비례하진 않는 해들로 이루어진 것을 일반 해(General solution)라고 합니다. 여기에 초기 조건과 같이 특정한 값을 지정하면 특수 해(Particular solution)라고 합니다.

중첩의 원리로 이루어지는 해 각각을 Basis(기저) 또는 기본계라고 합니다. 각 Basis가 어떤 수로 비례하지 않으면 이 두 관계를 선형 독립(Linearly Independent)라고 합니다. 즉, $$\frac{y_{1}}{y_{2}}=cont\qquad\Rightarrow depentent\\\frac{y_{1}}{y_{2}}\neq cont\qquad\Rightarrow indepentent$$

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본격적으로 2차 미분방정식을 풀어보겠습니다. 상수계수를 갖는 미분방정식의 경우 아래와 같은 식이 됩니다. $$y''+ay'+by=0$$

일차방정식에서 위에 대한 식의 해는 exponential function으로 나타납니다. 따라서

$$y=e^{\lambda x},\qquad y'=\lambda e^{\lambda x},\qquad y''=\lambda^2e^{\lambda x}$$

이를 미분방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.

$$\lambda^2+a\lambda+b=0$$

이렇게 미분방정식이 일반 대수학으로 변환이 되었습니다. 위 식의 해는 근의 공식을 적용하면 람다를 구할 수가 있습니다.

$$\lambda_{1}=\frac{1}{2}(-a+\sqrt{a^2+4b}),\qquad \lambda_{2}=\frac{1}{2}(-a-\sqrt{a^2+4b})$$

람다를 구했으므로 원래 미분방정식의 해는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$$y_{1}=e^{\lambda_{1} x},\qquad y_{2}=e^{\lambda_{2} x}$$

대수학에서 근의 공식 판별식으로 인해 우리는 2차 방정식의 두 근이 실근일 경우, 중근일 경우, 허근일 경우로 나눴습니다. 여기에서도 루트 안 즉, a^2-4b의 값에 따라 미분방정식 해의 형태가 달라집니다.

$$Case 1: a^2-4b >0 \quad \Rightarrow \quad y=c_{1}e^{\lambda_{1}x}+c_{2}e^{\lambda_{2}x}\\
Case 2: a^2-4b =0 \quad \Rightarrow \quad y=(c_{1}+c_{2}x )e^{-\frac{a}{2}x}\\
Case 3: a^2-4b <0 \quad \Rightarrow \quad y=e^{-\frac{a}{2}x}(Acos\;\omega x+Bsin\;\omega x)$$

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상수를 계수로 갖는 2차 미분 방정식에 대해 세 가지 유형으로 분류되어 해의 형태가 달라진다는 것을 알았습니다. 차근차근 공학에 적용하여 가장 기초적인 용수철 운동부터 수학적으로 모델링해 보겠습니다. 공기와의 마찰 등이 없다고 가정을 하고 용수철에 매달린 질량에 힘을 가하면 이 물체는 계속 진동을 할 것입니다. Hook의 법칙으로 용수철에 작용하는 힘은 용수철의 길이 변화와 비례하고 힘은 질량과 가속도의 곱으로 나타낼 수 있으므로 용수철 운동을 수학적 모델링으로 표현하면

질량-스프링 운동

$$ mx'' = -kx$$

여기서 -를 갖는 이유는 용수철에 의한 힘은 항상 물체가 받는 힘의 방향과 반대로 작용하기 때문입니다. 위 식을 미분방정식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$mx'' + kx =0 \\x''+\frac{k}{m}x = 0$$

용수철 상수와 질량은 음수가 나올 수 없으므로 위 미분방정식의 해의 형태는 세 번째 유형이 됩니다. 

$$mx''+\frac{k}{m}x=0 \quad \Rightarrow \quad x=Acos\;\omega_0t+Bsin\;\omega_0t,\;(\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}})$$

위와 같은 운동을 조화진동(harmonic oscillation)이라고 합니다. 여기서 주파수와 주기는 다음과 같습니다.

$$f=\frac{\omega_0}{2\pi},\qquad T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega_0}$$

따라서 질량이 크거나 용수철 상수가 작으면 진동수가 작아지고 주기가 길어지게 됩니다. 반대로 질량이 작거나 용수철 상수가 크면 진동수가 커지고 주기가 짧아집니다.

sin함수와 cos함수를 하나로 합쳐 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.

$$x(t) = Ccos\;(\omega_0 t - \delta),\quad C=\sqrt{A^2+B^2},\;tan\delta=B/A$$

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이번에는 spring motion에 damping을 넣어 보겠습니다. damping은 물체의 운동을 방해하는 성질입니다. 물체의 속력에 비례해서 저항하는 힘이 나오는 것입니다. 따라서 다음과 같이 damping force를 나타낼 수 있습니다.

mass damped spring

$$F_2 = -cx'$$

이를 앞서 배운 mass-spring system에서 추가하여 적용하면 다음과 같습니다.

$$mx''=-cx'-kx\\mx''+cx'+kx=0\\x''+\frac{c}{m}x'+\frac{k}{m}x=0$$

이로써 mass-damped-spring system이 만들어졌고 제차 2차 미분방정식이 완성되었습니다. 위 식을 2차 방정식의 일반 해를 구하기 위해 람다를 적용하여 일반 대수 방정식을 만드는 것을 적용합니다. 

$$x''+\frac{c}{m}x'+\frac{k}{m}x = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda^2+\frac{c}{m}\lambda+\frac{k}{m} =0$$

근의 공식을 적용해서 람다의 값을 구하겠습니다.

$$ \lambda_1=\frac{-c+\sqrt{c^2-4mk}}{2m},\qquad \lambda_2=\frac{-c-\sqrt{c^2-4mk}}{2m} \\ \alpha=-\frac{c}{2m},\qquad \beta=\frac{\sqrt{c^2-4mk}}{2m} $$

앞으로 편의상 알파와 베타로 근의 공식을 표현하겠습니다. 앞서 배운 2차 미분 방정식 풀이법에서와 같이 근의 판별식에 따라 미분 방정식의 해의 형태가 달라집니다.

$$ Case 1: c^2-4mk >0 \quad \Rightarrow \quad x=c_{1}e^{(\alpha-\beta)t}+c_{2}e^{(\alpha+\beta)t} \\
Case 2: c^2-4mk =0 \quad \Rightarrow \quad x=(c_{1}+c_{2}t )e^{\alpha t}\\
Case 3: c^2-4mk <0 \quad \Rightarrow \quad x=e^{\alpha t}(Acos\;\beta t+Bsin\;\beta t)=Ce^{\alpha t}cos(\beta t -\delta) $$

Case 1의 경우, 람다가 실수 근을 가질 때의 일반 해가 됩니다. damping이 운동 에너지를 빨리 소모시키기 때문에 물체가 진동하지 않고 시간이 지남에 따라 x값이 0으로 수렴해 갑니다. 이를 Overdamping이라고 합니다.

Case 2의 경우, 람다가 중근을 가질 때의 일반 해가 됩니다. 이 경우 역시 시간이 지남에 따라 x값이 0으로 수렴합니다. 진동을 하지 않은 임계 해가 됩니다. 이를 Critical damping이 됩니다.

Case 3의 경우, 람다가 복소수를 갖게 됩니다. damping ratio c의 값이 작으면 베타의 값은 커지게 되어 진동수가 증가하는 꼴이 됩니다. 따라서 점점 고유 진동수에 근접하게 되어 진동이 커집니다. 이를 Underdamping이라고 합니다.

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Spring Mass Damped System 풀이