[기초 물리] 힘의 평형과 토크

회전 문을 열 때와 같이 회전축에서 일정한 거리만큼 떨어진 지점에 힘을 작용하면 물체가 어떤 점을 중심으로 회전하려고 합니다. 이와 같이 물체의 회전 운동을 변화시키는 물리량을 돌림힘 또는 토크(torque)라고 합니다. 토크의 크기는 힘 F와 힘의 작용점과 회전 중심 사이의 수직 거리 r와의 곱으로 나타냅니다. 단위는 힘의 단위에 거리의 단위를 곱한 Nm입니다. 여기서 r를 지레의 팔 또는 모멘트의 팔(moment arm)이라고 합니다.

그림과 같이 r와 F의 방향이 수직이 아닐 때는 수직 성품의 힘을 찾아 계산하므로 가 됩니다. 토크는 r과 F의 방향이 수직일 때 가장 크고, 평행 일 때에는 0입니다. 토크는 크기와 방향을 가진 벡터량입니다. 오른손을 살짝 감아 쥐고 엄지손가락을 제외한 네 손가락을 에서 의 방향으로 향하도록 하면 엄지손가락이 토크의 방향을 나타냅니다. 힘의 방향이 반대가 되면 토크의 방향도 반대가 됩니다. 그러나 토크의 방향은 수학적으로 정의한 방향이고, 물체가 실제로 회전하는 방향은 힘의 방향입니다. 즉, 회전축을 중심으로 힘의 방향으로 회전합니다. 자동차의 핸들이나 회전식 수도꼭지를 보면 회전축에서 서로 반대쪽에 있는 지점에 반대 방향의 힘을 작용합니다. 이와 같이 크기가 같고 방향이 반대인 두 평행력을 짝힘이라고 합니다. 짝힘에 의한 토크는 다음 식과 같습니다.

따라서 물체에 짝힘이 작용하면 지레의 팔이 더 길어진 효과를 얻어 더 큰 토크를 가할 수 있습니다.

막대의 한 점을 받치고 받친 점의 한쪽에 물체를 놓은 후 다른 쪽에서 힘을 작용하여 물체를 움직이는 장치를 지레라고 합니다. 작은 힘으로 무거운 물체를 움직이거나 작은 거리를 움직여 물체가 큰 거리를 움직이도록 하는 데 사용합니다. 이때 지레를 받친 점을 받침점, 지레가 물체에 힘을 가하는 점을 작용점, 지레에 힘이 작용하는 점을 힘점이라고 합니다. 무게를 무시할 수 있는 지레의 한쪽에 무게가 W인 물체를 받침점으로부터 a만큼 떨어진 점에 놓고 받침점으로부터 b만큼 떨어진 점을 F의 힘으로 눌러 물체를 정지 시켰을 때 각 힘과 거리 사이에는 토크 Wa=Fb의 관계가 성립하는데, 이를 지레의 원리라고 합니다. 이때 a<b이면 W>F이므로 W보다 작은 힘으로 물체를 움직일 수 있습니다.

지레랑 비슷한 원리로 축바퀴가 있습니다. 지름이 다른 원형 바퀴 두 개를 중심이 일치하도록 붙여서 함께 회전하도록 만든 장치입니다. 지름이 큰 바퀴와 작은 바퀴에 반대 방향으로 줄을 걸어 한쪽 줄을 아래로 당기면 다른 쪽 줄이 위로 올라갑니다. 이때 지름이 작은 바퀴의 줄에 물체를 매달고 지름이 큰 바퀴의 줄을 당기면 작은 힘으로 무거운 물체를 들어 올릴 수 있습니다. 두 바퀴의 반지름을 각각 a와 b, 큰 바위에 작용하는 힘을 F, 작은 바퀴에 매달린 물체의 무게를 W라 하면 회전축을 중심으로 F에 의한 돌림힘과 W에 의한 돌림힘의 크기가 같으면 물체는 정지해 있거나 일정한 속력으로 움직입니다. (aW=bF) 이때 a<b이면 W>F이므로 작은 힘으로 큰 힘을 얻을 수 있습니다.

앞에서 무게를 무시할 수 있는 지레를 사용하여 물체를 일정한 속력으로 들어 올릴 때 지레의 원리로부터 aW=bF라고 했습니다. 또한 물체가 움직인 거리를 h, 힘점이 움직인 거리를 s라고 하면 다음과 같이 두 삼각형이 닮음이므로 의 관계가 성립합니다. 따라서 hb=sa이고, 이를 aW=bF에 적용하면 다음 식이 성립합니다.

hW=sF

이 식에서 좌변은 지레가 무게 W인 물체를 높이 h만큼 들어 올린 일을 나타내고, 우변은 사람이 힘 F를 가해 지레를 y만큼 이동시켰을 때 한 일을 나타냅니다. 결국 이 식은 지레가 물체에 한 일과 사람이 지레에 한 일은 같다는 것을 의미합니다. 즉, 지레에서 a<b일 때 힘이 물체 무게의 a/b배로 작아지므로 힘의 이득이 생깁니다. 그러나 힘을 가한 거리가 물체가 올라간 높이의 b/a배로 늘어나 이동 거리의 손해가 생기므로 결국 일의 이득은 없습니다.

지레, 축바퀴, 도르래와 같은 도구를 사용하여 일을 할 때 힘의 이득을 보더라도 이동 거리에서 손해를 보기 때문에 항상 한 일의 양은 변화가 없습니다. 이와 같이 도구를 사용하여 일을 하더라도 일의 이득이 없는 것을 일의 원리라고 합니다. 

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동일한 작용선 상에서 한 점 P에 작용하는 크기가 같고 방향이 반대인 두 힘은 서로 평형을 이룹니다. 따라서 한 점 P에 작용하는 두 힘, F1, F2가 평형을 이룰 때 다음의 관계가 성립합니다.

물체의 다른 두 점 A, B에 힘 F1, F2가 작용하는 경우에도 이 힘들이 같은 작용선 위에 있고, 방향이 반대이며 크기가 같다면 두 힘은 평형을 이룹니다. 이대 힘의 백터를 그 작용선 상으로 이동시켜도 힘의 효과는 변하지 않으므로 힘 F1을 B의 위치까지 평행 이동시키면 두 힘의 평형 관계를 쉽게 알 수 있습니다.

이번에는 세 힘을 보겠습니다. 물체의 한 점에 세 힘 F1, F2, F3가 작용하여 힘의 평형을 이룰 때에는 합력이 0이 되어 F1+F2+F3=0의 관계가 성립합니다. 한 점에 작용하는 세힘 F1, F2, F3가 평형을 이루기 위해서는 다음 3가지 조건 중 어느 한 가지가 성립하면 됩니다.

1. 임의의 두 힘의 합력이 나머지 다른 한 힘과 크기가 같고 반향이 반대이며 같은 작용선 상에 있을 때.

2. 세 힘을 차례로 평행 이동하면 폐삼각형이 될 때. 이때 벡터의 방향은 폐삼각형의 선분을 서로 연결하는 형태로 한 힘의 작용 방향이 다른 힘의 작용점과 연결되어야 합니다.

3. 세 힘이 평형을 이룰 때. 이를 라미(Lami)의 정리라고 합니다.

이와 같이 한 점에 작용하는 여러 힘이 평형을 이루고 있을 때 이 힘들의 합력은 0입니다. 각 힘을 직교 좌표의 x성분과 y성분으로 분해하여 방향에 따라 (+), (-) 부호를 붙힌 뒤, 각 힘의 x 성분의 총합과 y 성분의 총합을 구하면, x성분과 y성분 총합은 모두 0이 됩니다.

이때 각 힘을 차례로 평행 이동시켜 화살표의 머리에 다른 화살표의 꼬리가 닿도록 연결하면 폐다각형이 됩니다.

이 힘의 평형을 이용해서 물체의 무게 중심을 찾을 수 있습니다. 무게 중심은 물체의 각 부분에 작용하는 중력을 합한 합력의 작용점이라고 합니다. 물체의 모양을 고려하여 좌표 축을 정하고 각 부분의 무게 중심의 좌표를 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) .... 전체 무게 중심의 좌표를 (x, y)라 하면 합력의 토크는 각 힘의 x, y방향 성분의 토크의 합과 같게 됩니다. 따라서

물체를 줄에 매달아 놓으면 무게 중심은 항상 물체를 매단 점 아래에 있습니다. 따라서 걸어 놓는 위치를 바꾸어 두 번 매달아 보면 무게 중심을 찾을 수 있습니다.