[기초 물리] 유체의 법칙(베르누이 정리)

유체는 일정한 모양을 갖지 않고 흘러다니는 기체와 액체를 뜻합니다. 고체는 분자 간의 인력이 강하여 일정한 모양을 유지하고 있는 상태입니다. 그러나 고체에도 힘을 가하면 뒤틀리거나 옆으로 밀리는 등의 약간의 변형이 일어납니다. 물질의 상태를 이야기하기 위해서 우선 밀도, 압력에 대해 알아야합니다. 단위 부피당 질량을 밀도라고 합니다. 밀도의 단위로는 kg/m^3 또는 g/cm^3을 사용합니다. 추가로 물체의 밀도를 섭씨 4도 물의 밀도로 나눈 값을 비중이라고 합니다.

 (m: 질량, V: 부피, (로우): 밀도)

압력은 단위 면적당 누루는 힘이라고 정의합니다. 표준 단위는 Pa(파스칼)입니다. 1Pa은 1m^2의 면적에 1N의 힘이 작용할 때의 압력입니다.

(P: 압력, F: 힘, A: 면적)

기상학에서는 hPa(헥토파스칼)을 사용하는데 1hPa= 100 Pa입니다. 그외에도 수은 기둥의 높이로 기압을 나타내는 mmHg(torr), 기압(atm)등이 사용됩니다.

밀도와 압력에 대해 알아보았으니 본격적으로 유체를 표현해 보겠습니다.

우리는 무게가 질량과 중력 가속도의 곱이라고 알고 있습니다. 앞서 밀도는 단위 부피당 질량이기 때문에 질량을 구하기 위해서는 부피와 밀도의 곱으로 표현할 수 있습니다. 즉,

유체의 무게 = 밀도 X 부피 X 중력 가속도, 

다시 부피는 밑면적과 높이로 표현할 수 있습니다. 이 유체의 무게는 누르는 힘이 됩니다. 따라서 유체의 무게에 의한 압력을 구할 수 있습니다.

압축되지 않는 유체에서 유체의 밀도(), 중력 가속도(g), 유체 기둥의 높이(h), 유체의 밑면적(A)일 때 밑면이 받는 압력 P는 대기가 유체 표면을 누르는 압력(대기압) P0에 높이 h 인 유체 원기둥의 무게에 의한 압력 P'의 합으로 나타납니다.

이는 유체의 높이가 높아질수록 압력이 크다는 것을 의미합니다. 유체에 의한 압력은 물체의 표면에 수직으로 나타납니다. 따라서 유체 내의 공기 방울은 항상 구의 형태를 띱니다. 구멍이 뚫린 유리구에 물을 넣고 한쪽에 힘을 가하면 물에 의한 압력이 구에 수직으로 작용하기 때문에 물줄기가 표면과 수직을 이루면서 뿜어 나옵니다.

액체나 기체는 그 속에 있는 물체의 전체 표면에 압력을 미치는데, 압력의 수평 성분은 전후좌우가 평행을 이루게 되지만, 연직 성분은 물체의 아랫면에서 위쪽으로 작용하는 압력이 윗면에서 아래쪽으로 작용하는 압력보다 큽니다. 따라서 전압력(전체 누르는 힙)을 합성하면 위쪽으로 작용하는 힘이 되고 이 힘을 부력(buoyancy)이라고 합니다. 한 면의 넓이가 A인 정육면체의 물체가 밀도 인 액체 속에 잠겨 있다고 합시다. 물체의 양면을 누르는 힘은 상쇄되지만 액체의 압력은 깊이에 비례하므로 윗면과 아랫면을 누르는 힘은 상쇄되지 않습니다. 대기압을 P0라고 하면 깊이 h1, h2에서의 압력은

입니다. 따라서 윗면과 아랫면을 누르는 힘 F1과 F2는 F=PA에 의해서

이며 두 힘의 차가 부력이 됩니다.

여기서 V는 유체에 잠긴 물체의 부피이고,은 물체의 부피에 해당하는 액체의 질량입니다. 즉, 부력의 크기는 유체 속에 잠긴 물체의 부피에 해당하는 유체 무게와 같습니다.

유체 속에 물체의 전체 또는 일부가 잠겼을 때 물체가 받는 부력의 크기는 유체 속에 잠긴 물체의 부피에 해당하는 유체 무게와 같다 이것이 아르키메데스의 원리입니다.

유체 속에 물체를 넣으면 물체는 유체로부터 부력을 받고, 그 반작용으로 유체는 물체로부터 연직 아래 방향으로 부력과 같은 크기의 힘을 받습니다. 따라서 유체 속에 물체를 넣은 후의 무게에서 물체를 넣기 전의 무게를 빼면 반작용의 크기를 측정할 수 있고, 반작용의 크기가 부력의 크기입니다. 

부력은 밀도와 부피의 곱으로 나타내므로 밀도 차를 이용하여 잠수함과 열기구를 움직이게 하는 원리가 됩니다. 열기구 안의 공기를 가열하면 공기의 밀도가 작아져 어느 순간 기구 전체에 작용하는 부력이 기구의 무게보다 커지게 됩니다. 이 순간부터 기구는 위로 떠오르게 됩니다. 잠수함의 외벽과 내벽 사이에 공기 탱크가 있어서 이 곳을 물로 채우면 잠수함 전체의 밀도가 증가하여 가라앉고, 이곳의 물을 내보내고 공기로 채우면 잠수함의 밀도가 감소하여 떠오르게 됩니다.

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이번에는 유체가 흐를 때를 생각해 봅시다. 유체의 한 곳에 힘이 작용하면 이 힘에 의한 압력은 여러 곳으로 전달됩니다. 즉, 정지해 있는 유체의 일부에 가해진 압력은 같은 세기로 유체 내의 모든 부분과 용기의 벽에 전달됩니다. 이것이 파스칼의 원리입니다. 

단면적이 다른 관이 연결되어 피스톤으로 압력을 가할 수 있는 유압 장치가 있다고 가장해봅시다. 유압 장치에는 무게를 무시할 수 있는 유체가 가득 들어 있습니다. 이 유압 장치의 왼쪽 피스톤에 힘을 가하면 이 힘에 의한 압력은

가 됩니다. 파스칼 원리에 따라 오른쪽 피스톤에 가해지는 압력도 동일하므로

가 됩니다. 따라서 오른쪽 피스톤에 가해지는 힘은

가 됩니다. 즉 유압 장치에서 왼쪽 피스톤의 면적을 작게 하고 오르쪽 피스톤 면적을 크게 할 수록 작은 힘을 가했을 때 큰 힘의 효과를 볼 수 있습니다. 힘의 이득은 있지만 지레의 원리와 마찬가지로 이동 거리는 증가하여 일의 양에는 변화가 없습니다.

왼쪽 피스톤을 이용하여 밀어 넣은 유체의 부피만큼 오른쪽 피스톤은 올라오게 됩니다. 왼쪽 피스톤이 밀어 넣은 유체의 부피는

이고 오른쪽 피스톤은 해당하는 부피만큼 올라오게 되므로

입니다. 따라서 오른쪽 피스톤이 이동한 거리는 

입니다. 결과적으로 왼쪽 피스톤이 한 일의 양과 오른쪽 피스톤이 한 일의 양은

입니다. 즉, 왼쪽 피스톤이 한 일의 양과 오른쪽 피스톤이 한 일의 양은 같습니다.

실생활에서 파스칼의 원리는 자주 발견할 수 있습니다. 치약통의 아무 곳이나 눌러도 유체인 치약이 모든 방향으로 같은 압력을 가하여 치약통 입구 쪽으로 치약이 밀려 나오는 경우와 공기 압축기로 압력을 가하는 파이프는 가는 것으로 하고, 자동차를 들어 올리는 실린더의 파이프는 굵은 것으로 하면 공기 압축기에서 가하는 힘이 크지 않아도 자동차를 충분히 들어 올릴 수 있습니다.

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유체의 흐름이 시간에 따라 변하지 않을 때, 이 흐름을 정상류라고 합니다. 정상류일 때 유선은 서로 교차하지 않고, 어느 한 점을 통과하는 모든 입자들의 속력은 동일합니다. 유체가 흐를 때 흐름이 정상류이고 회전하지 않으며, 점성이 없고 비압축성일 때 그 유체를 이상 유체(ideal fluid)라고 합니다. 유선(flow line, streamline)은 흐르는 유체 속의 각 입자들이 흐르는 경로를 나타낸 선입니다. 아래 그림과 같이 유체 속의 작은 면적 A를 생각할 때 그 둘레의 각 부분을 지나는 유선을 그리면 하나의 관이 형성되는데, 이 관을 유관(flow tube)이라고 합니다. 정상류일 때 유관 속의 유체의 전 질량은 항상 일정합니다.

위 그림과 같은 유관에 정상류가 흐를 때 단면적 A1, A2인 임의의 단면에서 유체의 속력을 각각 v1, v2 유체의 밀도를 라고 할 때 일정 시간()동안 A1에 흘러 들어온 유체의 질량은

이고, 시간 동안 A2로 흘러 나간 유체의 질량은

정상류인 경유 질량이 보존되므로 m1과 m2는 같습니다.

일정

이를 유체의 연속 방정식이라고 합니다. 유관의 단면적과 유체의 속력은 반비례한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 유체는 유관이 굵은 곳에서는 천천히 흐르고, 유관이 가는 곳에서는 빠르게 흐릅니다. 실생활에서 물 호스에 단면적을 좁게 하면 물의 속력이 빠른 이유가 바로 이것입니다. 호스의 노즐 크기를 조절해서 발사 거리를 조절할 수 있습니다.

유체가 관을 따라 정상류로 흐르고 있습니다. 단면적 A1에서 속력은 v1, 압력은 P1, 단면적 A2에서 속력은 V2, 압력은 P2입니다. 1에서 짧은 시간(dt)동안 유체가 흐르면 dx1=v1*dt이고, 같은 시간 동안 2에서 유체는 dx2=v2*dt가 됩니다. 같은 시간 동안 단면 A1과 A2를 흐른 유체의 부피가 같으므로 유체의 부피는 dV=A1*dx1=A2*dx2의 관계가 성립합니다. A1에 작용하는 힘은 F1=P1*A1이고, A2에 작용하는 힘은 F2=P2*A2입니다. 힘 F1이 하는 일은

이고, 힘 F2는 유체의 운동을 방해하므로 힘 F2가 하는 일은

이 됩니다. 따라서 힘이 한 알짜일은 다음과 같습니다.

dt 동안 흘러간 유체의 부피는 dV이고, 질량은 dm=*dV이므로 시간 dt 동안의 운동 에너지 변화량은 다음과 같습니다.

또 시간 dt 동안 질량 dm의 중력에 의한 포텐셜 에너지 변화량은 다음과 같습니다.

일-에너지 원리에서 힘이 한 알짜힘은 운동 에너지변화량과 중력에 의한 위치 에너지 변화량의 합과 같습니다.

이 식을 정리하면 다음과 같습니다.

위 식을 베르누이 정리라고 합니다. 베르누이 방정식은 유체의 속력에 따라 압력이 변하는데, 이는 속력과 압력, 높이의 관계를 기술한 식입니다. 베르누의 정리의 의미는 다음과 같습니다. 관이 굵은 곳에서는 유속이 느리고 관이 좁은 곳에서는 유속이 빠릅니다. 이때 이므로 관이 넓은 곳에서는 v가 작아 유체의 압력 P가 크고 관이 좁은 곳에서는 유속 v가 커 압력 P가 작아집니다.

배행기 날개의 단면은 위쪽이 더 많이 휘어져 있고 약간 위쪽을 향해 있습니다. 비행기가 이동하면 날개 위쪽을 지나는 공기 흐름의 속력은 아래쪽으로 흐르는 공기 흐름의 속력보다 빠릅니다. 유체의 속력이 빠를수록 압력이 작아지므로 날개 위쪽의 압력이 날개 아래쪽의 압력보다 작아서 날개 전체는 위쪽을 향하는 힘을 받게 됩니다. 이 힘을 양력이라고 합니다. 비행기는 이 양력에 의해서 떠오르고 공중을 날게 됩니다.

공이 회전하면서 날아가면 공기의 흐름 방향과 공 표면이 이동하는 방향이 같은 위쪽에서는 공기의 흐름이 빠르게 되고, 공기의 흐름과 공 표면이 이동하는 방향이 반대인 아래쪽에서는 공기의 흐름이 마찰에 의해 방해를 받아 느려집니다. 따라서 공 위쪽과 아래쪽에서 압력 차가 나게 되는데, 공기의 속력이 빠른 위쪽이 압력이 아래쪽보다 작으므로 공은 위쪽으로 힘을 받아 공의 경로가 휘어지게 됩니다. 이러한 효과를 마그누스 효과라고 합니다.