[기초물리]2-2 특수 상대성 이론

특수 상대성 이론을 간략히 말하면 속력에 따라 시간과 공간이 왜곡되는 현상을 설명한 이론입니다. 느린 속력에서는 시간과 공간이 일반 역학에 의해 이해될 수 있으나 매우 바른 속력에서는 특수 상대성 이론이 적용되어야만 정확하게 시간과 공간을 이해할 수 있습니다.

가장 빠른 속도로 움직이는 것이 무엇이 있을까요? 바로 빛입니다. 빛은 좁은 의미에서 사람이 맨눈으로 볼 수 있는 가시관선 즉 400 ~ 700 nm 정도의 짧은 파장을 가지고 있는 전자기파를 뜻합니다. 넓은 의미에서의 빛은 모든 종류의 전자기파를 지칭합니다. 18세기가지는 빛이 파동인지 입자인지 논쟁이 끊이 않았지만 현재에는 빛은 파동성과 입자성을 모두 가지고 있다고 밝혀져 이를 빛의 이중성으로 설명하고 있습니다. 많은 학자들이 빛의 속도를 측정하기 위해 다양한 방법으로 실험을 진행했습니다. 이러한 실험은 특수 상대성 이론을 발견하게 되는 계기가 되었습니다. 상대성 이론이라고 하면 우리는 흔히 아인슈타인만을 생각하기가 쉽습니다. 그러나 상대성 이론을 처음 언급한 인물은 갈릴레이입니다. 천동설과 지동설이 다투었을 때 칼릴레이는 지동설을 설명하면서 상대성이론을 구축하는 시초가 되었습니다.

물체의 운동을 나타내기 위해서는 좌표계가 필요합니다. 좌표계란 운동하는 물체의 위치를 숫자로 나타내기 위해 마련된 틀, 즉 기준입니다. 운동은 상대적이므로 운동을 기술하려면 반드시 좌표계를 정해야 하며 좌표계를 취하는 방식은 어려가지가 있습니다. 태양계에서는 태양을 고정된 좌표계로 취하고 항공기나 인공위성을 언급할 때에는 지구를 고정 좌표계로 취합니다. 어느 좌표계든 역학 법칙은 성립하여 어떤 좌표계도 상대적이며 절대적인 의미를 가진 좌표계는 없습니다. 이것이 갈릴레이가 말한 상대성 원리입니다. 갈릴레이의 상대성 이론을 전자기 현상에 적용시켜 보면 여러 가지 이상한 일이 일어납니다. 예컨대 빛의 속도는 유한하므로 빛의 속도로 움직이는 좌표계에서 본다면 정지한 빛이 보이는가 하는 의문이 생깁니다. 그러나 당시 알려져 있던 전자기학에서 빛의 속도는 어떤 좌표계에서 보아도 동일한 속도라고 결론지었습니다. 따라서 정지한 빛이 없다는 것인데 이는 갈릴레이의 상대성 이론이 적용되지 않습니다.

아인슈타인은 빛의 기묘한 성질도 상대성 원리에 따라야 한다고 생각했습니다. 그렇게 하기 위해 갈릴레이의 상대성 이론과 뉴턴의 역학에 약간의 수정이 필요했습니다.

가설1. 상대성 원리

상대성 원리에 의하면 역학, 전자기학, 광학, 열역학 등 모든 무리학의 법칙은 서로 일정한 속도로 움직이는 관성 좌표계에서 동일한 수학적 일관성을 갖아야 합니다. 즉 지구상에서 물리학 실험을 하든 지구보다 발리 움직이는 행성에서 실험을 하든 같은 결과가 나와야 합니다. 갈릴레이와 뉴턴은 두 관측자의 공간에 대한 상대성만을 고려했습니다. 아이슈타인은 공간뿐만 아니라 시간에 대한 상대성도 고려해야한다고 하였으면 이를 통해 3차원 공간좌표에 시간에 대한 시공간좌표를 완성하여 상대성 원리가 성립함을 증명했습니다.

가설2. 광속 불변 원리

광속 불변성은 3차원 관성 좌표계를 썼던 갈릴레이와 뉴턴의 상대 속도 개념을 전혀 다르게 정리하였습니다. 100km/h의 속도로 달리는 기차에서 150km/h의 속도로 던진 공의 속도는 기차 안에서 볼 때는 150km/h이지만 기차 밖에서 볼 때는 250km/h입니다. 그런데 공이 아니라 빛을 쏠 경우는 달라집니다. 기차 안에서 본 빛의 속도가 c라면 기차 밖에서 본 빛의 속도는 100km/h+c인 것이 갈릴레이와 뉴턴의 기존 관성 좌표계였으나 아인슈타인의 좌표계에 의하면 기차 밖에서 보는 빛의 속도는 c가 됩니다.

아인슈타인은 이러한 두 가설을 바탕으로 특수 상대성 이론의 대표적 결과인 동시성, 시간 팽창. 길이 수축에 대한 개념을 완성했습니다.

동시성

날아가는 우주선의 한가운데에서 양쪽으로 빛을 쏘는 경우, 우주선 안의 관측자가 이 빛을 관찰하면 양쪽 벽까지의 거리가 동일하기 때문에 빛은 양쪽 벽에 동시에 도착하는 것으로 보입니다. 반면 우주선 밖의 관측자가 이 빛을 관찰하면 빛의 속도는 관측자의 운동 상태와 관계없이 동일하기 때문에 오른쪽으로 진행하는 빛과 왼쪽으로 진행하는 빛은 같은 속도로 진행을 합니다. 이 때문에 빛은 왼쪽 벽에 먼저 도달하게 되고 오른쪽 벽에는 나중에 도달하는 것으로 관측됩니다. 이 두 사건은 모순도 아니고 착시도 아닙니다. 동시성은 동일한 관성 좌표계에서 발생한 사건에 대해서만 절대적인 의미를 갖고, 관측자에 따라 다른 상대적 개념으로 이해해야 합니다.

시간 팽창

빛의 속력에 가까울 정도로 매우 빠르게 움직이는 관찰자의 시계와 상대적으로 정지해 있는 관찰자의 시계로 측정하는 시간은 다르게 흘러간다는 개념입니다. 예로 영화 스파이더맨에서 거미에게 물린 피터는 갑자기 주위 시간이 느리게 가는 것을 경험합니다. 이는 초능력을 얻은 피터(관찰자)가 매우 빠른 속도로 움직이고 있기 때문입니다. 바르게 움직이는 관찰자에게 1초라고 생각되는 시간이 정지해 있는 관찰자에게는 1초보다 긴 시간으로 측정됩니다. 이를 시간 팽창 현상이 이라고 합니다. v의 속력으로 움직이고 있는 관찰자의 시간을 t0라 하고 정지해 있는 관찰자의 시간을 t라고 하면 다음과 같은 관계식이 성립합니다.

관찰자가 빠르게 움직일수록 t0에 비해 t의 크기가 커집니다.

그림과 같이 로켓의 바닥에서 빛을 쏘아 천장에 있는 거울에 반사시켜 왕복하는 시간을 측정할 때, 로켓의 높이를 L이라고 하면 움직이는 로켓 속에서 관찰한 고유 시간은 다음과 같다.

속도v로 움직이는 로켓 밖에서 측정한 빛이 왕복하는 시간을 t라고 하면, 빛이 움직인 거리의 반을 빗변 그 동안 로켓이 움직인 거리의 반을 밑변으로 하여 직각삼각형을 이루로 피타고라스 정리를 적용하면 다음과 가다.

이 식을 t에 대해서 풀면 로켓 밖에서 측정한 빛이 왕복하는 시간을 다음과 같이 구할 수 있다.

움직이는 로켓 안에서 측정하는 고유 시간보다 밖에서 측정하는 시간이 더 길게 관측됩니다.

길이 수축

매우 빠르게 움직이는 물체를 정지한 관측자가 관찬ㄹ하면 그 길이가 줄어들어 보이는데 이 현상을 길이 수축이라고 합니다. v의 속력으로 지구를 향해 운동하는 물체가 이동하는 거리를 지구에 정지한 관측자가 보았을 때 다음과 같습니다.

이번에는 물체의 관점에서 보면 자신은 가만히 있고 지구가 다가왔다고 생각할 수 있으므로 자신의 이동 시간은 고유 시간이 됩니다. 물체의 관점에서 지구가 다가온 거리는 다음과 같습니다.

이 두 식을 연립하여 L에 관하여 풀면 다음과 같이 되어 이동거리가 감소하게 됩니다.

결국 물체의 관점에서 측정한 이동 거리는 지구의 관측자가 측정한 이동 거리보다 짧아 보이게 됩니다.

질량 에너지 동등성

특수 상대성 이론의 개념 중 하나는 질량이 곧 에너지라는 것입니다. 특수 상대성 이론에 의하면 질량은 물체의 운동 속력이 빨라질수록 함께 커집니다. 물체가 정지했을 때의 질량을 m0라 하고 이 물체가 v의 속력으로 이동하고 있을 때의 질량을 m이라고 하면

이렇게 속력에 따라 증가하는 질량을 에너지로 환산하여 계산하면 다음과 같이 질량에너지 식을 구할 수 있습니다.