[기초물리]2-1 만유인력의 발견

만유인력의 발견은 역학의 발전에 커다란 영향을 끼쳤습니다. 역학의 원리를 과학적으로 풀이하고 현상을 논리적으로 이해할 수 있는 발판이 되었습니다. 천체 물리학에서도 천체의 움직임을 이해하는 데 만유인력이 중요한 역할을 합니다.

중세 시대에 코페르니쿠스가 지구와 행성들이 태양을 중심으로 돈다는 지동설을 주장한 이후 천동설과 논쟁이 많았습니다. 케플러는 수십 년 동안 관측한 자료를 분석하여 행성의 운동에 대해 세 가지 규칙성을 발견하였습니다. 행성의 운동궤도가 기하학적으로 완벽한 원이 아니라 타원이라는 새로운 이론을 내세웠습니다. 이 케플러의 발견은 이후 뉴턴이 만유인력 법칙을 정립하는 데 매우 중요한 역할을 합니다. 그럼 만유인력보다 케플러의 세 가지 법칙에 대해 알아봅시다.

타원 궤도 법칙(케플러 제1법칙): 평면 위의 두 점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라고 합니다. 이때 타원의 기준이 되는 두 개의 점을 초점이라고 합니다. 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그리면서 공전을 합니다. 이것을 타원 궤도 법칙 또는 궤도의 법이라고 합니다.

행성이 근일점에서 원일점으로 이동하는 동안 만유인력의 방향은 행성의 운동을 방해하는 방향으로 작용해서 행성의 속력은 점점 느려지게 됩니다. 반대로 행성이 원일점에서 근일점으로 이동할 때는 행성의 속력이 점점 빨라지게 됩니다. 이는 두번째 법칙과 연관이 있습니다. 

면적 속도 일정 법칙(케플러 제2법칙): 행성과 태양을 연결하는 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다. 이것이 면적의 법치라고 합니다.

주기의 법칙(케플러 제3법칙): 케플러는 행성과 태양 사이의 거리에 특별한 관계가 있다고 생각했습니다. 즉 태양계에 있는 각 행성의 공전 주기의 제곱은 각 행성의 타원 궤도의 긴반지름의 세제곱에 비례한다는 것을 알아내었습니다. 이것을 조화 법칙 또는 주기의 법칙이라고 합니다. 행성의 공전 주기를 T, 행성의 타원 궤도의 긴반지름을 r라고 할 때

이 법칙으로부터 근대 과학의 기본이 되는 뉴턴의 만유인력 법칙이 나오게 됩니다.

뉴턴은 케플러 법칙으로부터 태양과 행성 사이에 서로 잡아당기는 힘이 존재함을 알았으며 이 힘은 지구가 물체를 잡아당기는 힘과 같은 종류의 힘임을 밝혀내었습니다. 즉, 행성에 가해지는 힘은 태양을 향한 방향으로 작용하며 이 힘은 태양으로부터 멀어질수록 작아진다는 것입니다. 이는 우주에 존재하는 물체의 운동을 관장하는 만유인력(universal gravitation) 법칙을 발견하게 된 계기가 되었습니다. 질량을 가진 두 물체 사이에는 물체를 잇는 선분 방향으로 서로 잡아당기는 힘이 작용하며 이 힘은 두 물체의 질량 m,M의 곱에 비례하고 두 물체 사이의 거리 r의 제곱에 반비례한다는 만유인력 법칙은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

여기서 G는 만유인력 상수라고 하며 그 크기는 입니다.

우리가 알고 있는 중력도 만유인력의 한 종류입니다.(지구가 물체를 끌어당기는 만유인력=중력) 지구 자전에 의한 원심력과 위도에 따라 지구 중심으로부터의 거리가 약간씩 다르기 때문에 같은 물체라도 지역에 따라 중력이 약간씩 다릅니다. 이때 물체가 지표면으로 낙하할 대의 가속도를 중력 가속도라고 하며 g로 표시합니다. 지구 질량을 M, 지구 반지름을 R이라고 할 때 지표면에서 높이 h에 있는 질량이 m인 물체에 작용하는 중력은 다음과 같습니다.

물체가 지표면 근처에 있으면 h가 R보다 매우 작으므로 무시할 수 있습니다. 따라서 뉴턴의 운동 법칙에 따라 질량과 가속도로 표현하면 중력 가속도g는

이를 만유인력 상수, 지구 질량, 지구 반지름을 넣어서 계산하면 우리가 익히 알고 있는 중력가속도 약 9.8 m/s^2이 됩니다.

우리가 흔히 몸무게를 말 할때 60kg, 70kg이라고 언급합니다. 이 수치는 물체에 작용하는 중력의 크기를 말하는 것입니다. 무게는 질량과 중력 가속도의 곱으로 계산되기 때문입니다. 무게의 단위는 kgf(kg중), N을 사용하며 1kgf=9.8N입니다. 따라서 몸무게는 정확히 60kgf, 70kgf가 맞습니다.

무게랑 혼돈해서 쓰는 질량이 있습니다. 질량은 가속도가 계산되지 않아 장소에 따라 변하지 않는 물체의 고유한 향입니다. 질량의 단위는 kg,g을 사용합니다.

태양계의 행성들의 궤도는 타원이지만 실제로 이심률(찌그러진 정도)이 매우 작아서 행성들이 원운동한다고 생각해도 무방합니다. 따라서 뉴턴은 행성들이 등속 원운동을 한다는 가정하에 연구를 했습니다. 물체가 일정한 속력으로 원운동을할 때 원운동의 중심 방향으로 일정한 크기의 힘이 작용합니다. 이 힘을 구심력이라고 하고 다음과 같습니다.

여기서 m은 물체의 질량, r은 원 궤도의 반지름, v는 물체의 속력을 나타내고, a은 물체에 작용하는 구심 가속도를 의미합니다. 등속 원운동하는 물체의 속력은 일정하지만 운동 방향은 계속 변하기 때문에 가속도라고 합니다. 반지름이 r인 원 궤도를 일정한 속력 v로 등속 원운동하는 물체가 시간 동안 의 각을 회전하는 경우 속도의 변화량은 입니다. 이때 평균 가속도의 크기는 입니다. 가 매우 작아지면 가 되므로 순간 가속도는 다음과 같습니다.

등속 원운동하는 경우 한 바퀴 회전하는 데 걸린 시간이 주기이므로 회전 주기는 이고 각속도는 입니다.

등속 원운동에서 가속도의 방향은 항상 원운동의 중심을 향하므로 구심 가속도(centripetal acceleration)라고 합니다. 여기에 케플러 제3법칙인 주기의 법칙을 적용할 수 있습니다.

따라서 행성의 공전 주기와 궤도 반지름 사이의 관계식은 다음과 같습니다.

이와 같이 뉴턴은 케플러 법측으로부터 만유인력 법칙을 유도하였으며 그 후 천체 사이에서만이 아니라 질량이 있는 모든 물체 사이에 만유인력이 작용함을 알게 되었습니다.