중1) 1-1 자연수의 성질

Ⅰ. 약수와 배수

1. 몫과 나머지

자연수 a를 자연수 b로 나누면, a = b × (몫) + (나머지) 인 관계가 성립한다. (몫은 0 또는 자연수이고, 나머지는 b 보다 작다.) 특히 나머지가 0 일 때는 a = b × (몫) 인 관계가 성립한다.

2. 약수와 배수

자연수 a가 자연수 b로 나누어 떨어질 때 곧 a = b × (자연수)의 꼴로 나타낼 수 있을 때, b를 a의 약수, a를 b의 배수 라고 한다.

▶ 모든 자연수 a 에 대하여 a = 1 × a 이므로 다음과 같은 성질을 갖는다.

1. 1은 모든 자연수의 약수이다.

2. a는 자기 자신의 약수이고 배수이다.

<주의> 약수와 배수는 자연수에서만 생각하기로 한다.

3. 배수 찾기

2의 배수 : 일의 자리 숫자가 0 또는 2의 배수이면 그 수는 2의 배수

5의 배수 : 일의 자리 숫자가 0 또는 5이면 그 수는 5의 배수

4의 배수 : 끝의 두 자리가 00 또는 4의 배수이면 그 수는 4의 배수

3의 배수 : 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이면 그 수는 3의 배수

9의 배수 : 각 자리의 숫자의 합이 9의 배수이면 그 수는 9의 배수

예) 1512 - 각 자리의 숫자의 합이 9 (9의 배수)이므로 1512은 9의 배수

배수찾기

Ⅱ. 소인수분해

1.거듭제곱 : 같은 수를 여러 번 곱할 때 표시하는 방법

거듭제곱

예) 5×5×5 = 53

 

2. 소수와 합성수

소 수 : 약수의 개수가 두 개인 자연수, 즉 1보다 큰 자연수 중에서 1과 그 수 자신만을 약수로 가지는 자연수. 예) 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

합성수: 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수, 즉 약수의 개수가 3개 이상인 자연수

▶ 1은 소수도 합성수도 아니다.

3. 소인수분해

인수 : 자연수 a, b, c 에 대하여 a = b × c 로 나타내어질 때, b와 c를 a의 인수라고 한다. 특히, 인수가 소수일 때, 그 인수를 소인수라고 한다.

소인수분해 : 주어진 자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것

소인수분해

소인수 : 2, 3, 5

 

 

소인수분해의 성질

자연수를 소인수분해한 결과는, 소인수들의 순서를 생각하지 않으면, 오직 한 가지뿐이다.

4. 약수 구하기

1) 소인수분해하여 소인수와 소인수들의 곱을 모두 구한다.

2) 약수의 개수 : 의 약수의 개수는 (l +1)×(m+1)×(n+1)

예) 75의 약수를 모두 구하여라.

75를 소인수분해를 하면 75 = 3 × 52

1	5	$5^2$
3	3×5	$3\times 5^2$

75 의 약수는 1, 3, 5, 15, 25, 75 이고 개수는 (1+1)(2+1) = 6 개이다

 

Ⅲ. 공약수와 공배수

1. 공약수 : 두 개(또는 그 이상)의 자연수의 공통인 약수를 그들 수의 공약수 라고 한다.

2. 최대공약수 : 공약수 중에서 가장 큰 수

예) 12와 16의 공약수와 최대공약수

12의 약수의 집합 A = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }

16의 약수의 집합 B = { 1, 2, 4, 8, 16 }

공약수의 집합 A ∩ B = { 1, 2, 4 }

최대공약수는 4

최대공약수의 성질

두 개(또는 그 이상)의 자연수의 공약수는 그들의 최대공약수의 약수이다.

▶ 공약수를 구하는 방법은 최대공약수를 구하여 최대공약수의 약수를 구하면 된다.

3. 서로소 : 공약수가 1뿐인 두 자연수를 서로소라고 한다.

예) 7, 9 의 공약수는 1뿐이다.

4. 최대공약수 구하기 : 소인수분해를 이용하는 방법, 공통인 소인수로 나누어 구하는 방법

예1) 24와 60의 최대공약수를 구하여 보자

▶소인수분해를 이용하는 방법

소인수분해

최대공약수는 각 수의 공통인 소인수를 모두 곱한 것과 같다.

예2) 12와 48의 최대공약수를 구하여보자

최대공약수

▶공통인 소인수로 나누어 구하는 방법

 

 

5. 공배수 : 두 개(또는 그 이상)의 자연수의 공통인 배수를 그들 수의 공배수라고 한다.

6. 최소공배수 : 공배수 중에서 가장 작은 수

예) 4와 6의 공배수와 최소공배수

4의 배수의 집합 A = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, … }

6의 배수의 집합 B = { 6, 12, 18, 24, 30, 36, … }

공배수의 집합 A ∩ B = { 12, 24, 36, … }

                         최소공배수는 12

최소공배수의 성질

두 개(또는 그 이상)의 자연수의 공배수는 그들의 최소공배수의 배수이다.

공배수를 구하는 방법은 최소공배수를 구하여 최소공배수의 배수를 구하면 된다.

7. 최소공배수 구하기 : 소인수분해를 이용하는 방법, 공통인 소인수로 나누어 구하는 방법

60과 100의 최소공배수를 구하여보자

▶ 소인수분해를 이용하는 방법

60 = 2 × 2 × 3 × 5

100 = 2 × 2 × 5 × 5

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         2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 300

최소공배수는 각 수의 공통인 인수와 공통이 아닌 인수 모두의 곱과 같다.

▶ 공통인 소인수로 나누어 구하는 방법