반응형 생활공학73 6-2 정적분 2절 정적분 수학에서 가장 오래된 문제 중의 하나는 도형의 넓이를 구하는 문제이다. 직사각형의 넓이는 가로와 세로의 곱으로 구할 수 있고 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱의 1/2로 구할 수 있다. 일반적인 도형의 경계가 직선인 경우는 삼각형의 넓이를 이용하면 항상 그 넓이를 구할 수 있다. 그러나 경계가 곡선인 경우, 넓이를 구하는 문제는 그리 단순하지가 않다. 이 절에서는 곡선으로 둘러 싸인 도형의 넓이를 구하는 방법을 소개하도록 한다. 곡선 아래 부분의 넓이 함수 $y=x^2,\;\; 0\leq x\leq 1$의 아래 부분 S의 넓이 $A=|S|$를 근사적으로 구하여 보기로 하자. 우선 주어진 영역의 넓이는 높이가 1인 사각형에 포함되므로 0과 1 사이임을 쉽게 알 수 있다. 이제 구간 [0,1]을.. 2020. 11. 26. 6-1 부정적분 1절 부정적분 함수 $f(x)=x^2$의 도함수는 $f'(x)=2x$이다. 거꾸로 함수 $F$의 도함수가 $2x$ 라면 $F$는 어떤 함수인지 알 수 있을까? $x^2$을 미분하면 $2x$가 되는 것을 알고 있으므로 $$F(x)=x^2$$ 이라고 할 수 있다. 그러나 미분의 경우와는 달리 이런 성질을 갖는 함수는 무수히 많이 있다. 임의의 상수 $C$에 대하여 $$(x^2+C)'=2x$$ 이므로 다음과 같은 형태의 함수 $$F(x)=x^2+c$$ 는 모두 도함수가 $2x$이다. 역도함수 일반적으로 주어진 함수 $f$에 대하여 $$F'(x)=f(x)$$ 가 되는 미분가능한 함수 $F(x)$를 $f(x)$의 역도함수(antiderivative)라고 한다. 예를 들어 $2x$는 $x^2$의 도함수이고 $x^2.. 2020. 11. 26. 5-2 최적화 문제 2절 최적화문제 주어진 조건에서 최상의 선택을 찾는 것을 최적화(optimization)라고 한다. 최상의 선택이란 주어진 상황에 따라 최대값을 찾는 것일 수도 있고 아니면 최소값을 츶는 것이 될 수도 있다. 예를 들어, 제조자의 입장에서는 정해진 물량을 최소의 비용으로 생산하기를 바랄 것이고, 소비자의 입장에서는 정해진 가격에 가능한 많은 양의 물건을 사고자 할 것이다. 물류를 운영하는 사람이라면 정해진 지점들을 가장 빠르게 모두 방문할 수 있는 경로를 찾고 싶어 한다. 경영자의 경우라면 비용은 최소화하고 이윤은 최대화 하기를 원할 것이다. 이 절에서는 미분을 이용하여 최적화 문제를 해결하는 방법을 살펴보기로 한다. 우선 최대값, 최소값의 정의를 다시 한번 살펴보자. 최대값, 최소값 구하기 최대·최소값.. 2020. 11. 25. 5-1 로피탈의 법칙 1절 로피탈의 법칙 우리는 여러 형태의 부정형의 극한값을 구하였다. 그 중 어떤 것은 대수적인 성질을 이용하였고 $$\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4}{x^2-x-2},\qquad\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x^2}$$ 어떤 것은 기하학적인 성질을 이용하였다. $$\lim_{t\rightarrow0}\frac{sin\;t}{t}$$ 이 절에서는 이러한 부정형의 극한값을 구하는 일반적인 방법을 알아보기로 한다. 로피탈의 법칙 미분가능한 두 함수 $f,g$에 대하여 $$f(a)=g(a)=0$$ 이라고 하자. $f',g'$이 연속이고 $g'(a)\neq0$이면 $$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(.. 2020. 11. 25. 4-5 지수,로그함수의 도함수 5절 지수,로그함수의 도함수 지수함수 $f(x)=a^x$의 도함수를 정의를 이용하여 계산하면 $$\begin{align*}f'(x)=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}\\=&a^x\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h} \end{align*}$$ 을 얻는다. 따라서 $f(x)=a^x$가 $x=0$에서 미분가능하면, 다시 말해서 $$f'(0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}=L_a$$ 가 존재하면 $$(a^x)'=L_aa^x$$ 가 됨을 알 수 있다. 극한값 $L_a$는 그래프 $f(x)=a^x$의 $x=0$에서의 기울기이다. $a$.. 2020. 11. 25. 4-4 지수함수와 로그함수 4절 지수함수와 로그함수 양의 실수 $a$에 대하여 실수 집합에서 정의된 함수 $$f(x)=a^x$$ 을 지수함수(exponential function)라고 한다. 여기서 자연수 $n$에 대하여 $$a^n=a\cdot a\cdot a \cdots a$$ 으로 정의하고 $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$ 으로 정의한다. $a^0=1$로 놓는다. $x$가 유리수이면 서로 소인 정수 $p,q$에 대하여 $x=\frac{p}{q}$로 쓸 수 있고 $$a^x=(\sqrt[q]{a})^p$$ 으로 정의한다. 그렇다면 무리수 $x$에 대하여 $a^x$는 어떤 의미일까? 이 경우, $a^x$의 정의는 유리수의 경우처럼 직접적이지는 않다. $x$에 수렴하는 임의의 유리수 수열$(x_n)$에 대하여 $$a^x=\.. 2020. 11. 24. 4-2 / 4-3 삼각함수와 역삼각함수의 도함수 2절 삼각함수의 도함수 사인함수의 덧셈법칙에서 $$sin(x+h)=sinx cosh+cosx sinh$$ 이므로 $$sin(x+h)-sinx=sinx(cosh-1)+cosx sinh$$ 이 된다. 따라서 $$\begin{align*} (sinx)'=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}\\=&\lim_{h\rightarrow 0}[sinx\frac{cosh-1}{h}+cosx\frac{sinh}{h}]\\=&sinx\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cosh-1}{h}+cosx\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinh}{h}\\=&sinx\cdot0+cosx\cdot1\\=&cosx \end{align*}$$ 임을 알 수 있다. $$c.. 2020. 11. 24. 4-1 삼각함수 1절 삼각함수 각의 크기는 30˚,45˚처럼 일반적으로 60분법을 이용하여 나타낸다. 그러나 이론적으로는 호도법을 이용하여 각의 크기를 실수로 나타낸다. 호도법은 각의 크기를 단위원에서 대응하는 호의 길이를 이용하여 나타내는 방법이다. 단위원에서 호의 길이가 1일 때 대응하는 중심각을 1rad 라고 정의하고 1 라디안(radian)이라고 읽는다. 반지름이 1인 반원의 호의 길이는 $\pi$이므로 $$180^{\circ}=\pi (rad)$$ 이다. 따라서 $$30^{\circ}=\frac{180^{\circ}}{6}=\frac{\pi}{6}(rad),\quad 45^{\circ}=\frac{180^{\circ}}{4}=\frac{\pi}{4}(rad)$$ 이다. 특별히 혼란의 위험이 없으면 호도법의 단위.. 2020. 11. 24. 3-5 함수의 그래프 다음 두 그래프는 모두 증가하는 함수의 그래프이지만 다른 특징을 갖는다. 함수의 볼록성 주어진 구간에서 첫 번째 그래프는 위로 볼록(concave down)하다고 하고 두 번째 그래프틑 아래로 볼록(concave up)하다고 한다. 이는 곡선 위의 임의의 두 점을 연결하였을 때 위로 볼록한 경우 곡선의 그래프가 직선의 그래프보다 위에, 아래로 볼록한 경우는 곡선의 그래프가 직선의 그래프보다 아래에 있다. 만약 $f(x)$가 미분가능한 함수라면 첫 번째 경우는 $x$가 커지면 접선의 기울기가 점점 작아진다. 다시 말해서 $f'(x)$가 감소한다. 반면 두 번째 경우는 접선의 기울기 $f'(x)$가 점점 커진다. 이러한 성질을 미분가능한 함수 $y=f(x)$의 볼록성을 정의하는 데에 사용한다. 만약 $y=f.. 2020. 11. 24. 이전 1 2 3 4 5 6 ··· 9 다음 반응형
