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생활공학73

3-4 평균값 정리와 극값 평균값정리와 극값 정의역이 실수집합인 함수의 그래프를 그린다고 하자. 유한한 평면에 그래프를 그리려면 x의 범위를 어느 정도 잡아서 그려야 할까? 다음은 $$y=x^3-120x$$ 의 그래프를 구간 [-5,5]에서 그린 것이다. 그래프는 주어진 구간에서 단순감소하는 모양을 보이는데 이는 $\lim_{x\rightarrow\infty}y=\infty$라는 사실을 생각하면 그래프 전체의 특성이라고 볼 수는 없다. 이렇게 함수 전체의 특성이 나타나지 않으므로 다음과 같이 x의 범위를 늘여서 다시 그려 보자. 다음은 같은 함수를 구간 [-50,50]에서 그린 것이다. 이번에는 함수는 단순증가하는 모양을 보이는데 [-5,5]에서 그린 그래프로부터 이 또한 사실이 아님을 알 수 있다. 이러한 현상은 함수의 치역이 .. 2020. 11. 23.
3-3 연쇄법칙과 역함수 정리 3절 연쇄법칙과 역함수 정리 2절의 합성함수를 다시 살펴보자. $y=(x^2-x+1)^2$에서 $$f(u)=u^2,\quad u=g(x)=x^2-x+1$$ 이라고 하면 $$y=g^2(x)=f(g(x))$$ 와 같이 합성함수로 나타낼 수 있다. 이때 $$y'=2(x^2-x+1)(2x-1)$$ 은 f와 g를 이용하여 나타내면 f'(u)=2u이므로 $$y'=f'(g(x))g'(x)$$ 이 성립한다. 연쇄법칙 이러한 관계식 (3.3)은 일반적인 합성함수에 대하여도 성립한다. $y=f(x), z=g(y)$가 미분가능한 함수이고 $$F(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))$$ 라고 하자. $$u(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}-f'(x)\\v(s)=\frac{g(s)-g(y)}{s-y}-g'(y.. 2020. 11. 20.
3-2 도함수 2절 도함수 1절에서 함수 $f$가 정의역의 한 점 $x=a$에서 미분가능할 때 미분계수 $f'(a)$를 정의하였다. 함수 $f$가 미분가능한 점들의 집합을 $I$라고 하면 $x\in I$에 대하여 $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ 로 정의된 함수 $f':I\rightarrow \mathbb{R}$을 $f$의 도함수(derivative)라고 부른다. $y=f(x)$의 도함수는 다음과 같이 여러 방법으로 나타낸다. $$y',\quad f'(x),\quad \frac{dy}{dx},\quad \frac{df}{dx}(x)$$ 미분법칙 이제 두 함수의 연산에 대하여 도함수를 구하여 보기로 한다. 두 함수 $f,g$가 미분가능하다고 하자 $$\frac{.. 2020. 11. 20.
3-1 평균변화율과 순간변화율 1절 평균변화율과 순간변화율 이 세상의 대부분의 것은 시간이 흐르면 변한다. 이러한 변화는 변화율을 사용하여 수학적으로 나타낼 수 있는데 변화율은 변화가 어느 방향으로 얼마나 빠르게 일어나는지를 나타낸다. 변화가 시간에 관계없이 일정하게 일어나면 직선의 형태로 나타낼 수 있고, 이때 직선의 기울기는 변화율을 나타낸다. 이 경우, 변화율은 시간에 상관없이 항상 일정하다. 그러나 대부분의 경우 변화율은 시간에 따라 다르게 나타나는데 이 절에서는 이러한 변화율에 관한 체계적이고 직접적인 방법을 살펴보기로 한다. 보간법 자연현상, 또는 사회현에서 관찰되는 변화나 실험실에서 측정되는 변화는 시간에 대하여 연속적으로 기록하는 것이 불가능하다. 따라서 일정한 시간간격을 두고 이러한 수치를 관측하여 기록한다. 그렇다면.. 2020. 11. 20.
2-5 연속함수 2-3에서 우리는 다항식의 경우 임의의 점 $x=a$에서 함수의 극한값과 함수값이 일치하는 것을 보았다. 함수가 이러한 성질을 가질 때 $f$는 $x=a$에서 연속(continuous)이라고 한다. 식 (2.1)은 다음과 같이 쓸 수도 있다. $$\lim_{h\rightarrow0}f(a+h)=f(a)$$ 함수 $f$가 $x=a$에서 연속이라는 것은 다음과 같은 세 가지 사실을 내포하고 있다. 1. $f(a)$가 존재한다.($a$가 정의역에 속한다.) 2. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$가 존재한다. 3. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ 함수 $f$가 $x=a$에서 연속이 아닐 때, $f$가 $x=a$에서 불연속(discontinuous)이라고 하고 $x=a$.. 2020. 11. 20.
2-4 극한의 계산 극산의 계산 x가 a보다 크면서(또는 a의 오른쪽에서)a로 갈 때 $x\rightarrow a^+$로 나타낸다. a보다 작으면서(또는 a의 왼쪽에서)a로 갈 때는 $x\rightarrow a^-$로 나타내기로 한다. 좌극한과 우극한 다음과 같이 정의된 헤비사이드 함수(Heaviside function)의 $t=0$에서 극한 값을 생각해 보자. 이 경우 $t\rightarrow 0^+$일 때 $H(t)$는 항상 1에 가까워지지만 $t\rightarrow 0^-$이면 항상 0 이다. 그러므로 t가 0에 가까워지면서 H(t)가 가까워지는 단 하나의 수는 존재하지 않는다. 다시 말해서 $$\lim_{t\rightarrow 0}H(t)$$ 는 존재하지 않는다. 그러나 $t\rightarrow 0^+$이면 $ H(.. 2020. 11. 19.
2-3 함수의 극한 3절 함수의 극한 함수 $y=f(x)=x^2$의 값은 $x$가 어떤 방법으로 2에 가까워지더라도 항상 4에 가까워진다. 이때 $f(x)$가 가까워지는 값 4를 $x$가 2로 갈 때 $f$의 극한값(limit)이라고 하고 다음과 같이 나타낸다. $$\lim_{x\rightarrow 2}x^2=4$$ 함수의 극한은 다음과 같이 수열의 극한을 이용하여 정의할 수 있다. $a$로 수렴하는 임의의 수열 $(x_n)(x_n\neq a)$에 대하여( $x$가 어떤 방법으로 $a$에 가까워지더라도) $$y_n=f(x_n)\rightarrow L$$ 이면($f(x)$가 항상 $L$에 가까워지면) $x$가 $a$로 갈 때 $f(x)$는 $L$로 수렴한다(converge)고 한다. 극한법칙 상수 a와 c에 대하여 $$\li.. 2020. 11. 19.
2-2 급수 수열 ($a_n$)의 각 항을 모두 더한 것을 $$a_1+a_2+a_3+....$$ 로 나타내고 무한급수(infinite series), 또는 단순히 급수(series)라고 부른다. 급수를 간단히 다음과 같이 나타내기도 한다. $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n,\quad or \quad \sum a_n$$ 부분합 다음과 같이 정의된 수열 ($s_n$)을 무한급수 $\sum a_n$의 부분합(partial sum)의 수열이라고 한다. $$\begin{align*} s_1=&a_1 \\ s_2=&a_1+a_2 \\ &\vdots\\ s_n = & a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\\ & \vdots \end{align*}$$ 부분합의 수열 ($s_n$)이 극한값 s.. 2020. 11. 19.
2-1 수열 1절 수열 수를 순서대로 배열한 것을 수열(sequence)이라 부른다. 즉, 수열이란 자연수의 집합 $$\mathbb{N}=\left \{1,2,3,... \right \}$$ 에서 정의된 함수이다. 예를 들어 수열 $$(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...)$$ 에서 초항은 1, 둘째 항은 1/2이고, n 번째 항은 $$a_n=\frac{1}{n},\quad n\geq1$$ 이다. 이때 $a_n$을 일반항이라고 한다. 수열은 다음과 같이 그래프를 이용하여 나타낼 수도 있다. 이 그래프에서 $a_n=1/n$은 n이 커질수록 0에 가까워짐을 알 수 있다. 이때 이 수열의 극한값(limit of sequence)은 0 이라고 하고 $$\lim_{n\rightarrow\.. 2020. 11. 19.
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