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7-1 치환적분 1절 치환적분 미적분의 기본정리에서 볼 수 있듯이 정적분을 구하기 위해서는 부정적분을 구하는 것이 필수적이다. 미분과 적분은 역작용으로 이해할 수 있으므로 모든 미분법칙에는 대응되는 적분법칙이 있다. 예를 들어, 치환적분법(integration by substitution)은 미분의 연쇄법칙에 대응하는 방법이다. 곱의 미분에 대응하는 적분법은 부분적분법(ingetration by parts)이라고 불린다. 정적분의 치환적분법 이제 정적분 $\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)dx$ 를 구하는 방법을 알아보기로 하자. $F(u)$가 $f(u)$의 한 부정적분이라면 부정적분의 치환적분법에 의하면 $u=g(x)$ 일 때, $$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du=F(u)=F(g(x).. 2020. 11. 27.
6-4 넓이와 응용 4절 넓이와 응용 2절에서 양의 함수 $y=f(x)$에 대하여 $$\int_{a}^{b}f(x)dx$$ 는 구간 $[a,b]$에서 곡선의 그래프와 $x$ 축 사이 영역의 넓이임을 보았다. 이제 구간 $[a,b]$에서 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$사이의 영역의 넓이는 어떻게 구할 수 있는 지 알아보기로 한다. 두 함수는 모두 연속이고 $f(x)\geq g(x)$라고 가정한다. 2절에서 한 것과 마찬가지로 구간 $[a,b]$를 $n$ 등분하여 양 끝점과 각 분점의 $x$좌표를 $$x_0(=a),x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n(=b)$$ 이라 하고 부분구간의 길이를 $$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$ 이라 하자. 구간 $[x_{k-1},x_k]$의 임의의 점 $x_k^.. 2020. 11. 26.
6-3 미적분의 기본정리 3절 미적분의 기본정리 미분과 적분은 서로 역작용으로 이해할 수 있다. 즉, 어떤 함수를 적분한 후 다시 미분하면 원래의 함수가 되고 반대로 어떤 함수를 미분한 것을 다시 적분하면 원래의 함수가 된다. 이러한 원리를 미적분의 기본정리(fundamental theorem of calculus)라고 한다. 구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$$ 라고 하자. $f(t)\geq0$이면 기하학적으로 $F(x)$는 구간 $[a,x]$에서 함수 $y=f(t)$와 $x$ 축 사이의 넓이 $S$를 의미한다. $x$가 $x+h$까지 변화할 때 $h>0$이면 $F(x+h)-F(x)$는 구간 $[x,x+h]$에서의 넓이이고 $h0$이면 $$mh\leq F(x.. 2020. 11. 26.
6-2 정적분 2절 정적분 수학에서 가장 오래된 문제 중의 하나는 도형의 넓이를 구하는 문제이다. 직사각형의 넓이는 가로와 세로의 곱으로 구할 수 있고 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱의 1/2로 구할 수 있다. 일반적인 도형의 경계가 직선인 경우는 삼각형의 넓이를 이용하면 항상 그 넓이를 구할 수 있다. 그러나 경계가 곡선인 경우, 넓이를 구하는 문제는 그리 단순하지가 않다. 이 절에서는 곡선으로 둘러 싸인 도형의 넓이를 구하는 방법을 소개하도록 한다. 곡선 아래 부분의 넓이 함수 $y=x^2,\;\; 0\leq x\leq 1$의 아래 부분 S의 넓이 $A=|S|$를 근사적으로 구하여 보기로 하자. 우선 주어진 영역의 넓이는 높이가 1인 사각형에 포함되므로 0과 1 사이임을 쉽게 알 수 있다. 이제 구간 [0,1]을.. 2020. 11. 26.
포스트 코로나시대 한국판 뉴딜정책!! 1. 뉴딜 정책이란? 현재 우리는 코로나 19로 인해 전 세계가 혼란과 위기에 빠진 지 벌써 11개월이 흘렀습니다. 한국은 지금도 3차 대유행을 이야기할 정도로 상황이 더 나빠지고 있습니다. 2020년 7월 코로나 사태로 긴급하게 미래지향적 국가이자 글로벌 경제 성도를 위한 발판을 마련하기 위해 정부는 한국판 뉴딜이라는 이름을 내세우며 종합적인 계획을 발표했습니다. 과거 미국이 대공황에 빠졌던 이유는 돈이 없어서가 아니었습니다. 유동성은 넘쳤지만 그 유동성이 제대로 흐르지 않게 되면서 빈부격차가 생기고이 빈부격차는 결국 돈의 흐름이 막히는 돈맥경화를 불러왔기 때문입니다. 이런 돈의 흐름을 원활히 만들기 위해서 루즈벨트가 했던 것이 뉴딜 정책이었고 한국 역시 지금 뉴딜정책을 기본 삼아 우리에게 맞는 정책을.. 2020. 11. 26.
6-1 부정적분 1절 부정적분 함수 $f(x)=x^2$의 도함수는 $f'(x)=2x$이다. 거꾸로 함수 $F$의 도함수가 $2x$ 라면 $F$는 어떤 함수인지 알 수 있을까? $x^2$을 미분하면 $2x$가 되는 것을 알고 있으므로 $$F(x)=x^2$$ 이라고 할 수 있다. 그러나 미분의 경우와는 달리 이런 성질을 갖는 함수는 무수히 많이 있다. 임의의 상수 $C$에 대하여 $$(x^2+C)'=2x$$ 이므로 다음과 같은 형태의 함수 $$F(x)=x^2+c$$ 는 모두 도함수가 $2x$이다. 역도함수 일반적으로 주어진 함수 $f$에 대하여 $$F'(x)=f(x)$$ 가 되는 미분가능한 함수 $F(x)$를 $f(x)$의 역도함수(antiderivative)라고 한다. 예를 들어 $2x$는 $x^2$의 도함수이고 $x^2.. 2020. 11. 26.
5-2 최적화 문제 2절 최적화문제 주어진 조건에서 최상의 선택을 찾는 것을 최적화(optimization)라고 한다. 최상의 선택이란 주어진 상황에 따라 최대값을 찾는 것일 수도 있고 아니면 최소값을 츶는 것이 될 수도 있다. 예를 들어, 제조자의 입장에서는 정해진 물량을 최소의 비용으로 생산하기를 바랄 것이고, 소비자의 입장에서는 정해진 가격에 가능한 많은 양의 물건을 사고자 할 것이다. 물류를 운영하는 사람이라면 정해진 지점들을 가장 빠르게 모두 방문할 수 있는 경로를 찾고 싶어 한다. 경영자의 경우라면 비용은 최소화하고 이윤은 최대화 하기를 원할 것이다. 이 절에서는 미분을 이용하여 최적화 문제를 해결하는 방법을 살펴보기로 한다. 우선 최대값, 최소값의 정의를 다시 한번 살펴보자. 최대값, 최소값 구하기 최대·최소값.. 2020. 11. 25.
5-1 로피탈의 법칙 1절 로피탈의 법칙 우리는 여러 형태의 부정형의 극한값을 구하였다. 그 중 어떤 것은 대수적인 성질을 이용하였고 $$\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4}{x^2-x-2},\qquad\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x^2}$$ 어떤 것은 기하학적인 성질을 이용하였다. $$\lim_{t\rightarrow0}\frac{sin\;t}{t}$$ 이 절에서는 이러한 부정형의 극한값을 구하는 일반적인 방법을 알아보기로 한다. 로피탈의 법칙 미분가능한 두 함수 $f,g$에 대하여 $$f(a)=g(a)=0$$ 이라고 하자. $f',g'$이 연속이고 $g'(a)\neq0$이면 $$\begin{align*}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(.. 2020. 11. 25.
4-5 지수,로그함수의 도함수 5절 지수,로그함수의 도함수 지수함수 $f(x)=a^x$의 도함수를 정의를 이용하여 계산하면 $$\begin{align*}f'(x)=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}\\=&a^x\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h} \end{align*}$$ 을 얻는다. 따라서 $f(x)=a^x$가 $x=0$에서 미분가능하면, 다시 말해서 $$f'(0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}=L_a$$ 가 존재하면 $$(a^x)'=L_aa^x$$ 가 됨을 알 수 있다. 극한값 $L_a$는 그래프 $f(x)=a^x$의 $x=0$에서의 기울기이다. $a$.. 2020. 11. 25.
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