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4-4 지수함수와 로그함수 4절 지수함수와 로그함수 양의 실수 $a$에 대하여 실수 집합에서 정의된 함수 $$f(x)=a^x$$ 을 지수함수(exponential function)라고 한다. 여기서 자연수 $n$에 대하여 $$a^n=a\cdot a\cdot a \cdots a$$ 으로 정의하고 $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$ 으로 정의한다. $a^0=1$로 놓는다. $x$가 유리수이면 서로 소인 정수 $p,q$에 대하여 $x=\frac{p}{q}$로 쓸 수 있고 $$a^x=(\sqrt[q]{a})^p$$ 으로 정의한다. 그렇다면 무리수 $x$에 대하여 $a^x$는 어떤 의미일까? 이 경우, $a^x$의 정의는 유리수의 경우처럼 직접적이지는 않다. $x$에 수렴하는 임의의 유리수 수열$(x_n)$에 대하여 $$a^x=\.. 2020. 11. 24.
4-2 / 4-3 삼각함수와 역삼각함수의 도함수 2절 삼각함수의 도함수 사인함수의 덧셈법칙에서 $$sin(x+h)=sinx cosh+cosx sinh$$ 이므로 $$sin(x+h)-sinx=sinx(cosh-1)+cosx sinh$$ 이 된다. 따라서 $$\begin{align*} (sinx)'=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}\\=&\lim_{h\rightarrow 0}[sinx\frac{cosh-1}{h}+cosx\frac{sinh}{h}]\\=&sinx\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cosh-1}{h}+cosx\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinh}{h}\\=&sinx\cdot0+cosx\cdot1\\=&cosx \end{align*}$$ 임을 알 수 있다. $$c.. 2020. 11. 24.
4-1 삼각함수 1절 삼각함수 각의 크기는 30˚,45˚처럼 일반적으로 60분법을 이용하여 나타낸다. 그러나 이론적으로는 호도법을 이용하여 각의 크기를 실수로 나타낸다. 호도법은 각의 크기를 단위원에서 대응하는 호의 길이를 이용하여 나타내는 방법이다. 단위원에서 호의 길이가 1일 때 대응하는 중심각을 1rad 라고 정의하고 1 라디안(radian)이라고 읽는다. 반지름이 1인 반원의 호의 길이는 $\pi$이므로 $$180^{\circ}=\pi (rad)$$ 이다. 따라서 $$30^{\circ}=\frac{180^{\circ}}{6}=\frac{\pi}{6}(rad),\quad 45^{\circ}=\frac{180^{\circ}}{4}=\frac{\pi}{4}(rad)$$ 이다. 특별히 혼란의 위험이 없으면 호도법의 단위.. 2020. 11. 24.
3-5 함수의 그래프 다음 두 그래프는 모두 증가하는 함수의 그래프이지만 다른 특징을 갖는다. 함수의 볼록성 주어진 구간에서 첫 번째 그래프는 위로 볼록(concave down)하다고 하고 두 번째 그래프틑 아래로 볼록(concave up)하다고 한다. 이는 곡선 위의 임의의 두 점을 연결하였을 때 위로 볼록한 경우 곡선의 그래프가 직선의 그래프보다 위에, 아래로 볼록한 경우는 곡선의 그래프가 직선의 그래프보다 아래에 있다. 만약 $f(x)$가 미분가능한 함수라면 첫 번째 경우는 $x$가 커지면 접선의 기울기가 점점 작아진다. 다시 말해서 $f'(x)$가 감소한다. 반면 두 번째 경우는 접선의 기울기 $f'(x)$가 점점 커진다. 이러한 성질을 미분가능한 함수 $y=f(x)$의 볼록성을 정의하는 데에 사용한다. 만약 $y=f.. 2020. 11. 24.
3-4 평균값 정리와 극값 평균값정리와 극값 정의역이 실수집합인 함수의 그래프를 그린다고 하자. 유한한 평면에 그래프를 그리려면 x의 범위를 어느 정도 잡아서 그려야 할까? 다음은 $$y=x^3-120x$$ 의 그래프를 구간 [-5,5]에서 그린 것이다. 그래프는 주어진 구간에서 단순감소하는 모양을 보이는데 이는 $\lim_{x\rightarrow\infty}y=\infty$라는 사실을 생각하면 그래프 전체의 특성이라고 볼 수는 없다. 이렇게 함수 전체의 특성이 나타나지 않으므로 다음과 같이 x의 범위를 늘여서 다시 그려 보자. 다음은 같은 함수를 구간 [-50,50]에서 그린 것이다. 이번에는 함수는 단순증가하는 모양을 보이는데 [-5,5]에서 그린 그래프로부터 이 또한 사실이 아님을 알 수 있다. 이러한 현상은 함수의 치역이 .. 2020. 11. 23.
3-3 연쇄법칙과 역함수 정리 3절 연쇄법칙과 역함수 정리 2절의 합성함수를 다시 살펴보자. $y=(x^2-x+1)^2$에서 $$f(u)=u^2,\quad u=g(x)=x^2-x+1$$ 이라고 하면 $$y=g^2(x)=f(g(x))$$ 와 같이 합성함수로 나타낼 수 있다. 이때 $$y'=2(x^2-x+1)(2x-1)$$ 은 f와 g를 이용하여 나타내면 f'(u)=2u이므로 $$y'=f'(g(x))g'(x)$$ 이 성립한다. 연쇄법칙 이러한 관계식 (3.3)은 일반적인 합성함수에 대하여도 성립한다. $y=f(x), z=g(y)$가 미분가능한 함수이고 $$F(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))$$ 라고 하자. $$u(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}-f'(x)\\v(s)=\frac{g(s)-g(y)}{s-y}-g'(y.. 2020. 11. 20.
3-2 도함수 2절 도함수 1절에서 함수 $f$가 정의역의 한 점 $x=a$에서 미분가능할 때 미분계수 $f'(a)$를 정의하였다. 함수 $f$가 미분가능한 점들의 집합을 $I$라고 하면 $x\in I$에 대하여 $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ 로 정의된 함수 $f':I\rightarrow \mathbb{R}$을 $f$의 도함수(derivative)라고 부른다. $y=f(x)$의 도함수는 다음과 같이 여러 방법으로 나타낸다. $$y',\quad f'(x),\quad \frac{dy}{dx},\quad \frac{df}{dx}(x)$$ 미분법칙 이제 두 함수의 연산에 대하여 도함수를 구하여 보기로 한다. 두 함수 $f,g$가 미분가능하다고 하자 $$\frac{.. 2020. 11. 20.
3-1 평균변화율과 순간변화율 1절 평균변화율과 순간변화율 이 세상의 대부분의 것은 시간이 흐르면 변한다. 이러한 변화는 변화율을 사용하여 수학적으로 나타낼 수 있는데 변화율은 변화가 어느 방향으로 얼마나 빠르게 일어나는지를 나타낸다. 변화가 시간에 관계없이 일정하게 일어나면 직선의 형태로 나타낼 수 있고, 이때 직선의 기울기는 변화율을 나타낸다. 이 경우, 변화율은 시간에 상관없이 항상 일정하다. 그러나 대부분의 경우 변화율은 시간에 따라 다르게 나타나는데 이 절에서는 이러한 변화율에 관한 체계적이고 직접적인 방법을 살펴보기로 한다. 보간법 자연현상, 또는 사회현에서 관찰되는 변화나 실험실에서 측정되는 변화는 시간에 대하여 연속적으로 기록하는 것이 불가능하다. 따라서 일정한 시간간격을 두고 이러한 수치를 관측하여 기록한다. 그렇다면.. 2020. 11. 20.
2-5 연속함수 2-3에서 우리는 다항식의 경우 임의의 점 $x=a$에서 함수의 극한값과 함수값이 일치하는 것을 보았다. 함수가 이러한 성질을 가질 때 $f$는 $x=a$에서 연속(continuous)이라고 한다. 식 (2.1)은 다음과 같이 쓸 수도 있다. $$\lim_{h\rightarrow0}f(a+h)=f(a)$$ 함수 $f$가 $x=a$에서 연속이라는 것은 다음과 같은 세 가지 사실을 내포하고 있다. 1. $f(a)$가 존재한다.($a$가 정의역에 속한다.) 2. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$가 존재한다. 3. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ 함수 $f$가 $x=a$에서 연속이 아닐 때, $f$가 $x=a$에서 불연속(discontinuous)이라고 하고 $x=a$.. 2020. 11. 20.
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