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2-4 극한의 계산 극산의 계산 x가 a보다 크면서(또는 a의 오른쪽에서)a로 갈 때 $x\rightarrow a^+$로 나타낸다. a보다 작으면서(또는 a의 왼쪽에서)a로 갈 때는 $x\rightarrow a^-$로 나타내기로 한다. 좌극한과 우극한 다음과 같이 정의된 헤비사이드 함수(Heaviside function)의 $t=0$에서 극한 값을 생각해 보자. 이 경우 $t\rightarrow 0^+$일 때 $H(t)$는 항상 1에 가까워지지만 $t\rightarrow 0^-$이면 항상 0 이다. 그러므로 t가 0에 가까워지면서 H(t)가 가까워지는 단 하나의 수는 존재하지 않는다. 다시 말해서 $$\lim_{t\rightarrow 0}H(t)$$ 는 존재하지 않는다. 그러나 $t\rightarrow 0^+$이면 $ H(.. 2020. 11. 19.
2-3 함수의 극한 3절 함수의 극한 함수 $y=f(x)=x^2$의 값은 $x$가 어떤 방법으로 2에 가까워지더라도 항상 4에 가까워진다. 이때 $f(x)$가 가까워지는 값 4를 $x$가 2로 갈 때 $f$의 극한값(limit)이라고 하고 다음과 같이 나타낸다. $$\lim_{x\rightarrow 2}x^2=4$$ 함수의 극한은 다음과 같이 수열의 극한을 이용하여 정의할 수 있다. $a$로 수렴하는 임의의 수열 $(x_n)(x_n\neq a)$에 대하여( $x$가 어떤 방법으로 $a$에 가까워지더라도) $$y_n=f(x_n)\rightarrow L$$ 이면($f(x)$가 항상 $L$에 가까워지면) $x$가 $a$로 갈 때 $f(x)$는 $L$로 수렴한다(converge)고 한다. 극한법칙 상수 a와 c에 대하여 $$\li.. 2020. 11. 19.
2-2 급수 수열 ($a_n$)의 각 항을 모두 더한 것을 $$a_1+a_2+a_3+....$$ 로 나타내고 무한급수(infinite series), 또는 단순히 급수(series)라고 부른다. 급수를 간단히 다음과 같이 나타내기도 한다. $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n,\quad or \quad \sum a_n$$ 부분합 다음과 같이 정의된 수열 ($s_n$)을 무한급수 $\sum a_n$의 부분합(partial sum)의 수열이라고 한다. $$\begin{align*} s_1=&a_1 \\ s_2=&a_1+a_2 \\ &\vdots\\ s_n = & a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\\ & \vdots \end{align*}$$ 부분합의 수열 ($s_n$)이 극한값 s.. 2020. 11. 19.
2-1 수열 1절 수열 수를 순서대로 배열한 것을 수열(sequence)이라 부른다. 즉, 수열이란 자연수의 집합 $$\mathbb{N}=\left \{1,2,3,... \right \}$$ 에서 정의된 함수이다. 예를 들어 수열 $$(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...)$$ 에서 초항은 1, 둘째 항은 1/2이고, n 번째 항은 $$a_n=\frac{1}{n},\quad n\geq1$$ 이다. 이때 $a_n$을 일반항이라고 한다. 수열은 다음과 같이 그래프를 이용하여 나타낼 수도 있다. 이 그래프에서 $a_n=1/n$은 n이 커질수록 0에 가까워짐을 알 수 있다. 이때 이 수열의 극한값(limit of sequence)은 0 이라고 하고 $$\lim_{n\rightarrow\.. 2020. 11. 19.
중1) 1-1 자연수의 성질 Ⅰ. 약수와 배수 1. 몫과 나머지 자연수 a를 자연수 b로 나누면, a = b × (몫) + (나머지) 인 관계가 성립한다. (몫은 0 또는 자연수이고, 나머지는 b 보다 작다.) 특히 나머지가 0 일 때는 a = b × (몫) 인 관계가 성립한다. 2. 약수와 배수 자연수 a가 자연수 b로 나누어 떨어질 때 곧 a = b × (자연수)의 꼴로 나타낼 수 있을 때, b를 a의 약수, a를 b의 배수 라고 한다. ▶ 모든 자연수 a 에 대하여 a = 1 × a 이므로 다음과 같은 성질을 갖는다. 1. 1은 모든 자연수의 약수이다. 2. a는 자기 자신의 약수이고 배수이다. 약수와 배수는 자연수에서만 생각하기로 한다. 3. 배수 찾기 2의 배수 : 일의 자리 숫자가 0 또는 2의 배수이면 그 수는 2의 배.. 2020. 11. 18.
1-5 역행렬과 선형방정식계 5절 역행렬과 선형방정식계 0이 아닌 실수 a에 대하여 다음 성질을 만족하는 곱셈에 대한 역원 b가 존재한다. $$ab=ba=1$$ 행렬의 곱셈에 대한 항등원은 $\mathbf{I}_n$이다. 다시 말해서, $m\times n$행렬 A에 대하여 $$\mathbf{I_nA=AI_n=A}$$ 이 성립한다. 그렇다면 행렬 A에 대하여 곱셈에 대한 역원이 존재할까? $$\mathbf{AB=BA=I}_n\qquad\qquad(1.10)$$ 이 성립하는 B가 존재하는가? 만약 이런 성질을 갖는 행렬 B가 존재하면 A는 가역(invertible)라고 하고 B를 A의 역행렬(inverse matrix)이라고 한다. 식(1.10)이 성립하려면 A,B의 크기는 모두 $n \times n$이어야 한다. 지금부터 이 절에서 .. 2020. 11. 18.
1-4 행렬 4절 행렬 수를 직사각형모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬(matrix)이라고 한다. 다음은 행렬의 보기이다. $$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 &-\sqrt{2} \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 행렬의 크기(size)는 행(row)의 수와 열(column)의 수를 곱셈기호를 이용하여 나타낸다. 예를 들어 위의 행렬들의 크기는 각각 $$2\times2,\quad 1\times4,\quad 3\times 1,\quad 2\times.. 2020. 11. 18.
1-3 직선과 평면의 방정식 3절 직선과 평면의 방정식 평면에서 한점 $P_0(x_0,y_0)$ 을 지나고 직선의 기울기가 m인 직선의 방정식은 $$\frac{y-y_0}{x-x_0}=m\quad\Rightarrow\quad y=m(x-x_0)+y_0$$ 으로 구할 수 있다. 직선의 방정식 공간에서의 직선의 방정식도 직선 위의 한 점과 직선의 방향을 알면 구할 수 있다. 3차원 공간에서의 방향은 벡터로 표현할 수 있으므로 직선과 평행한 벡터를 $v=(a,b,c)$ 라고 하자. 직선 위의 한 점 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 을 자나고 벡터 v와 평행한 직선 위의 임의의 점을 $P(x,y,z)$ 라고 하면 벡터 $\overrightarrow{P_0P}$ 는 v와 평행하므로 $$\overrightarrow{P_0P}=t\mathbf.. 2020. 11. 18.
1-2 벡터의 내적 제 2 절 벡터의 내적 지금까지 우리는 두 벡터의 합과 벡터의 상수곱을 살펴 보았다. 두 벡타의 합이나 벡터의 상수곱은 성분별로 계산할 수 있었고 따라서 실수에서의 연산의 성질이 대부분 성립하였다. 그렇다면 벡터와 벡터의 곱을 정의하는 것은 가능한가? 그리고 그 정의가 어떤 의미를 갖는가？ 벡터와 벡터의 곱은 두 가지 형태로 정의된다. 하나는 내적(inner product)이라 불리는 것이고 다른 하나는 외적(outer product)이라 불리는 것이다. 우선 내적에 대하여 알아 보기로 한다. 벡터의 내적 두 벡터 a = (ai,a2,a3), b = (b1,b2,b3) 에 대하여 a 와 b 의 내적은 a·b 로 나타내고 $$\mathbf{a\cdot b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$ 로 정의.. 2020. 11. 18.
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